Elektrisches Feld einer Ladungsverteilung auf einer gekrümmten Linie

Gegeben sei ein Draht der Länge $L$ mit einer uniformen Ladungsdichte $\lambda$. Dieser Draht kann in verschiedene Formen gebogen werden. Das elektrostatische Potential $\varphi $, welches durch den Draht aufgebaut wird, kann bestimmt werden, indem der Draht in kurze Segmente geteilt wird und Beiträge aller Segmente aufsummiert werden. Die Segmente haben eine Länge $\Delta s$ und eine Ladung $\Delta q=\lambda\Delta s$. Deren Beitrag zum elektrostatischen Potential an der Position $\vec{r}$ ist:

$\large \varphi (\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{\Delta q}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_i|}$ [V].

Hier sind $\vec{r}_i=x_i\hat{x}+y_i\hat{y}+z_i\hat{z}$ die Positionen der Punktladungen entlang des Drahts und $|\vec{r}-\vec{r}_i|=\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2}$. Die Beziehung zwischen elektrischem Feld und elektrostatischem Potential ist $\vec{E} = -\nabla \varphi =-\frac{\partial \varphi }{\partial x}\hat{x} -\frac{\partial \varphi }{\partial y}\hat{y} -\frac{\partial \varphi }{\partial z}\hat{z}$.

$\large \vec{E}(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{q_i(\vec{r}-\vec{r}_i)}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_i|^3}$ [V/m]

Die Lage und Form des Drahtes kann mit einer parametrischen Gleichung unter Verwendung eines Parameters $s$, der die Distanz entlang des Drahtes mißt, festgelegt werden. Beispielsweise wird ein gerader Draht von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ beschrieben durch:

$ \vec{r}_{wire}=(r_{1x}+s(r_{2x}-r_{1x}))\hat{x} + (r_{1y}+s(r_{2y}-r_{1y}))\hat{y} + (r_{1z}+s(r_{2z}-r_{1z}))\hat{z}$  mit $s=[0,1]$.

Für eine Drahtschleife des Radiuses $R$ in der $x$-$y$ Ebene an $z=0$:

$ \vec{r}_{wire}=R\cos(2\pi s)\hat{x} + R\sin(2\pi s)\hat{y} + 0\hat{z}$  mit $s=[0,1]$.

Für eine Drahtwendel mit 10 Windungen

$ \vec{r}_{wire}=R\cos(2\pi s)\hat{x} + R\sin(2\pi s)\hat{y} + \frac{s}{n} \hat{z}$  mit $s=[0,10]$,

wobei $n$ die Anzahl der Windungen per Meter auf der Wendel ist. Das folgende Formular kann benutzt werden, um das elektrische Feld an der Position $\vec{r}$ zu berechnen.

Je länger der Draht, umso mehr Segmente werden für eine akkurate Rechnung benötigt. Besitzt der Draht Windungen, sind ungefähr 300 Segmente per Windung sinnvoll.

Im folgenden sind die verwendbaren mathematischen Funktionen aufgeführt. Multiplikation muß mit dem '*' Symbol angegeben werden, also 3*cos(x) statt 3cos(x). Potenzen sind werden mit der 'pow' Funktion angegeben: x² ist pow(x,2) statt x^2.