Ein springender Ball

Ein Ball der Masse $m$ wird geworfen und springt auf den Boden. Die auf diesen Ball wirkenden Kräfte sind die Schwerkraft $-mg\hat{z}$, eine der Geschwindigkeit proportionale Widerstandskraft $-a\vec{v}$ und die Kraft, die der Boden beim Aufprall ausübt. Der Boden kann als elastisches Material beschrieben werden, das mit einer Kraft $-kzH(-z)\hat{z}$ nach oben drückt. Hier ist $k$ die elastische Konstante und die Heaviside-Funktion $H(-z)$ sorgt dafür, dass diese Kraft nur dann wirkt, wenn die Ball $z=0$ unterschreitet.

Je größer die elastische Konstante $k$ ist, desto weniger sinkt der Ball unter $z=0$ und die Simulation prallt von einem harten Boden ab. Bei der Wahl des Zeitschritts $\Delta t$ ist jedoch Vorsicht geboten. Es sollte viel kleiner als $2\pi\sqrt{m/k}$ sein, damit der Solver die Abpraller vom Boden richtig beschreiben kann. Einige Differentialgleichungslöser passen den Zeitschritt automatisch an, um Probleme wie dieses zu berücksichtigen.

$\vec{F} = m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -a\vec{v}-mg\hat{z} -kzH(-z)\hat{z}$