Position ↔ Geschwindigkeit ↔ Beschleunigung ↔ Kraft

Ist für ein Objekt die Position $\vec{r}$, die Geschwindigkeit $\vec{v}$, die Beschleunigung $\vec{a}$ oder die Kraft $\vec{F}$ als Funktion der Zeit gegeben, kann jede andere dieser Größen berechnet werden.

$\large \vec{r}=\int \vec{v}dt = \int \left( \int \vec{a} dt\right) dt= \int \left(\int \frac{\vec{F}}{m} dt\right) dt,$

$\large \vec{v}=\frac{ d\vec{r}}{dt} = \int \vec{a} dt = \int \frac{\vec{F}}{m} dt, $

$\large \vec{a}=\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{ d\vec{v}}{dt}=\frac{\vec{F}}{m}, $

$\large \vec{F}=m\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2} = m\frac{ d\vec{v}}{dt}=m\vec{a}. $

Hier ist $m$ die Masse des Objekts.

Das Wissen um den Zusammenhang von $\vec{r}$, $\vec{v}$, $\vec{a}$ und $\vec{F}$ kann äußerst nützlich sein.

• Ist bekannt, daß das Objekt sich auf einer Kreisbahn bewegt, kann $\vec{F}=m\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2}$ benutzt werden, um die Zentripetalkraft zu berechnen.
• Bewegt sich das Objekt auf der Oberfläche einer rotierenden Kugel, kann $\vec{F}=m\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2}$ benutzt werden, um die Coriolis Kraft zu berechnen.
• Folgt das Objekt einer parabolischen Flugbahn (Trajektorie), ermöglicht $\vec{F}=m\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2}$ zu zeigen, daß die auf das Objekt wirkende Gesamtkraft konstant ist.
• Bewegt sich das Objekt entlang einer Geraden, ermöglicht $\vec{F}=m\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2}$ zu zeigen, daß die auf das Objekt wirkende Gesamtkraft Null ist.
• Führt das Objekt eine komplizierte Bewegung aus, z.B. ein im Reifen steckender Stein oder die Bewegung eines Maschinenteils, kann $\vec{F}=m\frac{ d^2\vec{r}}{dt^2}$ zum Berechnen der Gesamtkraft auf das Objekt benutzt werden.
• Ist sowohl die gesamte auf einen Satelliten wirkende Kraft, als auch dessen Anfangsposition und -geschwindigkeit bekannt, liefert $\int \left(\int \frac{\vec{F}}{m} dt\right) dt$ den Orbit des Satelliten.
• Gerät ein Elektron in den Einfluß eines zeitabhängigen elektrischen Feldes, dann kann dank $\int \left(\int \frac{\vec{F}}{m} dt\right) dt$ die Bahn des Elektrons berechnet werden.
• Wird ein Beschleunigungsmesser in einem Ball integriert, kann dank $\vec{F}=m\vec{a}$ die Gesamtkraft auf den Ball bestimmt werden.
• Fällt ein Mobiltelephon aus einem Flugzeug, kann es seine momentane Geschwindigkeit dank seines Beschleunigungsmessers und dank $ \vec{v}= \int \vec{a}dt$ übermitteln.

Da also diese Gleichungen in schier unzähligen Situationen angewandt werden, ist es nicht möglich, sich für jeden möglichen Fall an die Form der Kraft oder die Trajektorienform des Objekts zu erinnern. Für die Gleichungen dieses Kapitels gilt: Merken Sie sich die obigen vier Gleichungen; bestimmen Sie, ob zu Integrieren oder zu Differenzieren ist und leiten Sie dementsprechend die Lösung ab.