Harmonische Bewegung

Your browser does not support the canvas element. $$\large \vec{r}=A\cos(\omega t)\,\hat{x}.$$ $$\large \vec{v}=-\omega A\sin(\omega t)\,\hat{x}.$$ $$\large \vec{a}=-\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{x} = -\omega^2 \vec{r}.$$ $$\large \vec{F}=-m\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{x}= -m\omega^2 \vec{r}.$$

Harmonische Bewegungen sind jedwede Schwingungen, die proportional zu $\sin(\omega t)$ oder $\cos(\omega t)$ sind. Die Bewegung des blauen Balls wird durch den Positionsvektor,

$$\vec{r}=A\cos(\omega t)\,\hat{x},$$

beschrieben, wobei $A$ die Amplitude der Bewegung und $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit ist. Die Periodendauer, d.h. die für eine Periode benötigte Zeit, ist $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Positionsvektors nach der Zeit:

$$ \vec{v}=-\omega A\sin(\omega t)\,\hat{x}.$$

Die Beschleunigung ist die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit,

$$ \vec{a}=-\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{x} = -\omega^2 \vec{r}.$$

Die Kraft ist Masse multipliziert mit der Beschleunigung, $\vec{F}=m\vec{a}$,

$$\vec{F}=-m\omega^2 A\cos(\omega t)\,\hat{x}= -m\omega^2 \vec{r}.$$

Die Kraft ist proportional zum Positionsvektor, $\vec{F}=-m\omega^2\vec{r}$. Die Form dieser Kraft entspricht der Kraft einer linearen Feder , $\vec{F}=-k\vec{r}$, so daß wir $k=m\omega^2$ identifizieren können. Ein Teilchen der Masse $m$ an einer linearen Feder mit der Federkonstante $k$ führt eine harmonische Bewegung mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ aus.