Elektrisches Feld einer linearen Ladungsverteilung

Gegeben sei ein Stab mit einer uniformen Ladungsdichte $\lambda$, der parallel zur $z$-Achse orientiert ist. Das elektrostatische Potential außerhalb des Stabes ist:

$\large \varphi (\vec{r})= \frac{-\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{r}-\vec{r}_{\text{rod}}|\right)= \frac{-\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(\sqrt{(x-x_{\text{rod}})^2+(y-y_{\text{rod}})^2}\right)$ [V].

Dabei ist $\vec{r}_{\text{rod}}=x_{\text{rod}}\hat{x}+y_{\text{rod}}\hat{y}$ die Position des Stabes in der $x$-$y$ Ebene. Die Beziehung zwischen elektrischem Feld und elektrostatischem Potential ist $\vec{E} = -\nabla \varphi =-\frac{\partial \varphi }{\partial x}\hat{x} -\frac{\partial \varphi }{\partial y}\hat{y} -\frac{\partial \varphi }{\partial z}\hat{z}$. Da das Potential nicht von $z$ abhängt, ist das elektrische Feld in $z$-Richtung Null.

$\large \vec{E}(\vec{r})=\frac{\lambda(\vec{r}-\vec{r}_{\text{rod}})}{2\pi \epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_{\text{rod}}|^2}$ [V/m].

Das elektrische Feld lautet in $x$ und $y$ Koordinaten:

$\large \vec{E}(\vec{r})= \frac{\lambda(x-x_{\text{rod}})}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_{\text{rod}})^2+(y-y_{\text{rod}})^2\right)}\hat{x}+\frac{\lambda(y-y_{\text{rod}})}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_{\text{rod}})^2+(y-y_{\text{rod}})^2\right)}\hat{y}$ [V/m]

Sind mehrere Stäbe mit den Ladungsdichten $\lambda_i$ und Positions $\vec{r}_i$ parallel zur $z$-Achse in der $x$-$y$ Ebene orientiert, dann ist das dadurch verursachte elektrostatische Potential:

$\large \varphi (\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{-\lambda_i}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{r}-\vec{r}_i|\right)=\sum \limits_{i=1}^{N} \frac{-\lambda_i}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(\sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}\right)$ [V].

Das entsprechende elektrische Feld ist:

$\large \vec{E}(\vec{r})=\sum \limits_{i=1}^{N} \left[ \frac{\lambda_i(x-x_i)}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_i)^2+(y-y_i)^2\right)}\hat{x}+\frac{\lambda_i(y-y_i)}{2\pi \epsilon_0 \left((x-x_i)^2+(y-y_i)^2\right)}\hat{y}\right]$ [V/m].

Im folgenden Formular können Sie Ladungsdichten und Positionen von bis zu 10 Stäben angeben. Für diese wird das elektrostatische Potential und das elektrische Feld am Ort $\vec{r}$ berechnet.