Huygensches Prinzip: Interferenz vieler Punktquellen

Christiaan Huygens war in der Lage, Wellenphänomene wie Interferenz und Beugung mittels Punktquellen zu erklären. Eine Punktquelle in zwei Dimensionen emittiert kreisförmige Wellen der Form:

$\large \frac{A}{\sqrt{r}} \cos\left(\frac{2\pi r}{\lambda}-\frac{2\pi t}{T} +\phi \right).$

Hier ist $r$ die Entfernung von der Punktquelle, $t$ die Zeit, $\lambda$ die Wellenlänge, $T$ die Periodendauer und $\phi$ die Phase. Die Wellenamplitude fällt mit der Entfernung gemäß $1/\sqrt{r}$ ab. Setzen Sie $N=1$ in das folgende Formular ein und es wird die Wellen darstellen, die von einer Punktquelle am linken Rand des Bildes generiert werden.

Der Unterschied zu drei Dimensionen besteht nur darin, daß die Amplitude der Wellen wie $A/r$ abfällt.

$\large \frac{A}{r} \cos\left(\frac{2\pi r}{\lambda}-\frac{2\pi t}{T} +\phi \right)$

Das folgende Formular erlaubt Ihnen, $N$ Punktquellen in einer vertikalen Linie am linken Bildrand zu plazieren. Diese emittieren Oberflächenwellen der gleichen Amplitude, Frequenz und Phase. Diese Wellen interferieren miteinander. Die Gesamtamplitude ist die Summe aller individuellen Wellen.

$\large z = \sum\limits_{i=1}^N \frac{A}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_i|}}\cos (k|\vec{r}-\vec{r}_i|-\omega t )$ cm

Hier ist $|\vec{r}-\vec{r}_i|$ die Entfernung von der Quelle $i$. Die Wellenzahl $k$ hängt mit der Wellenlänge $\lambda$ gemäß $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ zusammen und die Winkelfrequenz $\omega$ mit der Periodendauer $T$ durch $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Die Punktquellen sind gleichmäßig im Interval $a$ angeordnet und mit kleinen weissen Punkten angedeutet. Versuchen Sie, die Wellenlänge grösser und kleiner als $a$ zu wählen. Haben die Punktquellen einen kleinen Abstand im Vergleich zur Wellenlänge, wird das Beugungsmuster sich dem des Einzelspaltes annähern.

Rot sind positive Amplituden und blau negative. Schwarze Regionen haben keine Wellenamplitude.