 | Physik M 513.805 (511.015) |
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Ableitungen von skalaren Feldern und VektorfeldernEin skalares Feld ist eine Funktion die jedem Punkt im Raum einen Wert zuweist. Temperatur, Druck, Dichte, Stoffmengenkonzentration, das elektrostatische Potential, und die Ladungsdichte sind skalare Felder. Ein Vektorfeld ist eine Funktion die jedem Punkt im Raum einen Vektor zuweist. Elektrische Felder und magnetische Felder sind Vektorfelder. Der Gradient eines skalaren Feldes $\phi$ ist ein Vektorfeld. Minus der Gradient des Druckes zeigt in die Richtung, in die der Wind bläst (hoher Druck zu niedrigem Druck). Minus der Gradient der Temperatur zeigt in die Richtung, in die Hitze fließt (hohe Temperatur zu niedriger Temperatur). Minus der Gradient des elektrischen Potentials zeigt in die Richtung des eleketrischen Feldes (von hohem Potential zu niedrigem). Die Divergenz eines Vektorfelds $\vec{A}$ ist ein skalares Feld. Die Divergenz sagt aus, ob sich die Vektoren in einem Vektorfeld auseinander oder zusammen bewegen. Stellen Sie sich eine kleine Kugel an einem Punkt im Raum vor. Wenn mehr Vektoren auf der Oberfläche der Kugel nach außen zeigen ist die Divergenz positiv. Wenn mehr Vektoren auf der Oberfläche der Kugel nach innen zeigen ist die Divergenz negativ. Der Rotor eines Vektorfelds beschreibt wie sich die Vektoren um einen bestimmten Punkt drehen. Der Gradient eines skalaren Feldes ist ein Vektorfeld, \begin{equation} \large \nabla \phi = \frac{\partial \phi }{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\hat{z}. \end{equation}Allgemein hängt das elektrostatische Potential von $x$, $y$, and $z$ ab. Um die partielle Ableitung $\frac{\partial \phi }{\partial x}$ zu bilden, leitet man nach $x$ ab, während $y$ und $z$ wie Konstanten behandelt werden. Die Divergenz eines Vektorfelds ist ein skalares Feld, \begin{equation} \large \nabla \cdot \vec{A} = \left( \frac{\partial }{\partial x}\hat{x} +\frac{\partial }{\partial y}\hat{y} +\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}\right)\cdot \vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x} +\frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z}{\partial z}. \end{equation}Der Rotor eines Vektorfelds ist wieder ein Vektorfeld, \begin{equation} \large \nabla\times\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\hat{x}+ \left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\hat{y}+ \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\hat{z}. \end{equation} |