Elektrisches Feld

<p>Am Ursprung befindet sich zunächst eine kleine grüne Lupe, die anzeigt, wo das elektrische Feld und das elektrostatische Potential gemessen werden. Der Messpunkt kann in drei Dimensionen verschoben werden, indem die Komponenten seines Positionsvektors $\vec{r}$ angepasst werden. </p>

<form name="calc">
<p style="text-align:center">$\vec{r} = $ <input type="button" value="-" onclick="calc.rx.value = calc.rx.value -0.01*L; field();"><input type='text' size='10' name='rx' value="0"><input type="button" value="+" onclick="calc.rx.value = parseFloat(calc.rx.value) + 0.01*L; field();"> $\hat{x} + $ <input type="button" value="-" onclick="calc.ry.value = calc.ry.value -0.01*L; field();"><input type='text' size='10' name='ry' value="0"><input type="button" value="+" onclick="calc.ry.value = parseFloat(calc.ry.value) + 0.01*L; field();"> $\hat{y} + $ <input type="button" value="-" onclick="calc.rz.value = calc.rz.value -0.01*L; field();"><input type='text' size='10' name='rz'  value="0"><input type="button" value="+" onclick="calc.rz.value = parseFloat(calc.rz.value) + 0.01*L; field();"> $\hat{z}$ [m]</p>
<p style="text-align:center">$\vec{E}(\vec{r}) = $ <input type='text' size='10' name='Ex' readonly> $\hat{x} + $ <input type='text' size='10' name='Ey' readonly> $\hat{y} + $ <input type='text' size='10' name='Ez' readonly> $\hat{z}$ [V/m] $\varphi(\vec{r}) = $ <input type='text' size='10' name='V' readonly>  [V]</p>
<p style="text-align:center"><input type="button" value="φ und E an Position r messen (grüne Lupe)" onclick="field();"></p>
</form>

<p>Die Spannung wird zwischen dem positiven (roten) Kontakt und dem negativen (schwarzen) Kontakt gemessen. Die Positionen der Kontakte werden durch einen roten und einen schwarzen Kreis angezeigt. Die Positionen $\vec{r}^{(+)}$ und $\vec{r}^{(-)}$ der beiden Kontakte können dreidimensional angepasst werden. Die Spannung ist die Differenz des elektrostatischen Potentials, $V = \phi(\vec{r}^{(+)}) - \phi(\vec{r}^{(-)})$. </p>
<form name="volt">
<p style="text-align:center">$\vec{r}^{(+)} = $ <input type="button" value="-" onclick="volt.rx.value = volt.rx.value -0.01*L; voltmeter();"><input type='text' size='10' name='rx' value="0"><input type="button" value="+" onclick="volt.rx.value = parseFloat(volt.rx.value) + 0.01*L; voltmeter();"> $\hat{x} + $ <input type="button" value="-" onclick="volt.ry.value = volt.ry.value -0.01*L; voltmeter();"><input type='text' size='10' name='ry' value="0"><input type="button" value="+" onclick="volt.ry.value = parseFloat(volt.ry.value) + 0.01*L; voltmeter();"> $\hat{y} + $ <input type="button" value="-" onclick="volt.rz.value = volt.rz.value -0.01*L; voltmeter();"><input type='text' size='10' name='rz'  value="0"><input type="button" value="+" onclick="volt.rz.value = parseFloat(volt.rz.value) + 0.01*L; voltmeter();"> $\hat{z}$ [m]</p>
<p style="text-align:center">$\vec{r}^{(-)} = $ <input type="button" value="-" onclick="volt.gx.value = volt.gx.value -0.01*L; voltmeter();"><input type='text' size='10' name='gx' value="0"><input type="button" value="+" onclick="volt.gx.value = parseFloat(volt.gx.value) + 0.01*L; voltmeter();"> $\hat{x} + $ <input type="button" value="-" onclick="volt.gy.value = volt.gy.value -0.01*L; voltmeter();"><input type='text' size='10' name='gy' value="0"><input type="button" value="+" onclick="volt.gy.value = parseFloat(volt.gy.value) + 0.01*L; voltmeter();"> $\hat{y} + $ <input type="button" value="-" onclick="volt.gz.value = volt.gz.value -0.01*L; voltmeter();"><input type='text' size='10' name='gz'  value="0"><input type="button" value="+" onclick="volt.gz.value = parseFloat(volt.gz.value) + 0.01*L; voltmeter();"> $\hat{z}$ [m]</p>
<p style="text-align:center">$V = $ <input type='text' size='10' name='V' readonly>  [V]</p>
<p style="text-align:center"><input type="button" value="Measure V =  φ(r+) - φ(r-)  (red - black)" onclick="voltmeter();"></p>
</form>

<p>Ein Ladungsring wird durch $N=120$ Punktladungen in einem Kreis modelliert. Das elektrische Feld genau in der Mitte des Rings ist Null, da die Ladungen symmetrisch um diesen Punkt herum angeordnet sind. Der Ring liegt in der $x-y$-Ebene. Wir können auch sehen, dass es aufgrund der Symmetrie keine $x-$ oder $y-$Komponenten des elektrischen Feldes entlang der $z-$Achse geben kann. Wir können dies überprüfen, indem wir die Messtaste drücken und uns entlang der $z-$Achse bewegen. Es liegt ein kleiner numerischer Fehler vor, aber es ist klar, dass die $z-$-Komponente viel größer ist als die $x-$ oder $y-$Komponenten. Es lässt sich zeigen, dass das elektrische Feld entlang der Achse beträgt:</p>

$$\vec{E} = \frac{Qz}{4\pi\epsilon_0\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\hat{z}$$

<p>wobei $Q$ die Gesamtladung auf dem Ring und $R$ der Radius des Rings ist. Für Abstände $z >> R$ würde ein Beobachter den Ring als Punkt sehen und in diesem Grenzwert wird die Formel zur Formel für eine Punktladung,</p>

$$\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 z^2}\hat{z}.$$

<p>Ein geladen Liniensegment wird durch $N =100$ Punktladungen in einer Linie modelliert. Eine Ladung $Q$ wird gleichmäßig entlang der Linie verteilt, die am Punkt $\vec{r}_1$ beginnt und am Punkt $\vec{r}_2$ endet.</p>

<p>Entfernt vom Liniensegment nähert sich das elektrische Feld dem elektrischen Feld einer Punktladung. In der Nähe des Liniensegments, aber von den Enden entfernt, nähert sich das elektrische Feld dem einer unendlichen Linienladung an.</p>

<p>Das elektrische Feld einer unendlichen Ladungslinie mit einer Ladungsdichte $\lambda$ ist,</p>

$$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 |\vec{R}|}\hat{R}\quad\text{V/m}, $$

<p>wobei $\vec{R} = (\vec{r}-\vec{r}_0)-\hat{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\ hat{n}$, $\vec{r}_0$ ist ein Punkt auf der Linie, $\hat{n}$ ist ein Einheitsvektor, der entlang der Linie zeigt, und $\vec{r}$ ist die Position, an der der Es wird ein elektrisches Feld beobachtet.</p>

<p>Das entsprechende elektrostatische Potential beträgt:</p>

$$\varphi (\vec{r})= \frac{-\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{R}|\right)\quad\text{[V]} .$$

<p>Weit entfernt von der Linie, die sich in einer Richtung senkrecht zur Linie bewegt, fällt das elektrische Feld ab wie $1/|\vec{R}|$.</p>

<p>The electric field produced by two line charges.</p>

<p>Das Bild unten zeigt ein dreidimensionales elektrisches Feld, das durch eine Ansammlung von Punktladungen, Linienladungen und Oberflächenladungen erzeugt wird. Die Größe des elektrischen Feldes an jedem Punkt wird durch die Undurchsichtigkeit der Vektoren angegeben. Die schwarzen Vektoren haben den größten Betrag und die transparenten Vektoren den kleinsten Betrag. Die Pfeile zeigen die Komponenten des elektrischen Feldes in der $x−y$-Ebene. Wenn der Pfeil kurz und schwarz ist, zeigt dieser Vektor größtenteils aus der $x−y$-Ebene heraus. Wenn der Vektor aus dem Bildschirm zeigt, wird $\odot$ angezeigt. Wenn der Vektor in den Bildschirm zeigt, wird $\otimes$ angezeigt. Die positiven Ladungen sind rot und die negativen Ladungen sind blau. Die Projektion der Linienladungen in die $x-y$ Ebene wird in Hellblau oder Hellrot dargestellt. Wenn die Linie parallel zur $z$-Achse verläuft, ist nur der Punkt sichtbar. Der Schnittpunkt der Ladungsblätter mit der $x-y$-Ebene wird als dunkelrote oder dunkelblaue Linien dargestellt. Es ist möglich, die angezeigte $z-$Ebene anzupassen, indem Sie die Tasten <input type="button" value="z+"> und <input type="button" value="z-"> drücken.</p >

<p>Eine beliebige Anzahl von Punktladungen, Linienladungen und Oberflächenladungen können mit den Schaltflächen <input type="button" value="+"> hinzugefügt und die letzte Ladung mit der Schaltfläche <input type="button" value="-"> enfernt werdern. Durch Drücken der Nummerntasten können Sie die Position und die Ladung eines Gegenstands ändern. Wenn eine Ladung außerhalb des Sichtfelds hinzugefügt wird, drücken Sie die Schaltfläche <input type="button" value="skalieren">. </p>

<p>Wenn die Schaltfläche <input type="button" value="φ und E an Position r messen"> gedrückt wird, wird eine kleine grüne Lupe angezeigt, die bewegt werden kann, um das elektrische Feld und das elektrostatische Potential an zu messen jede Position. Die Schaltfläche <input type="button" value="Voltmeter"> zeigt die beiden Kontakte eines Voltmeters an, die als rote und schwarze Kreise dargestellt werden. Das Voltmeter zeigt den Unterschied im elektrostatischen Potential zwischen den roten und schwarzen Kontakten an. </p>

<p>Die Äquipotentiale werden unter den Vektoren gezeichnet, wenn die Schaltfläche <input type="button" value="zeigen"> gedrückt wird, und ausgeblendet, wenn die Schaltfläche <input type="button" value="verstecken"> gedrückt wird. Es gibt einen Algorithmus, der versucht, die richtige Skalierung für die Opazität der Vektoren und den elektrostatischen Potentialbereich für die Äquipotentiale zu wählen. Allerdings weichen die Potenziale für Punktladungen und Linienladungen voneinander ab, sodass dieser Algorithmus manchmal fehlschlägt und Sie die Undurchsichtigkeit und die Reichweite manuell anpassen müssen.</p>

<p>Es gibt ein Pulldown-Menü, das verschiedene Ladekonfigurationen lädt.</p>






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