Elektrostatik

Die Coulombkraft, die auf ein Teilchen der Ladung $q$ [C] an der Position $\vec{r}$ [m] aufgrund eines Teilches der Ladung $q_0$ [C] an der Position $\vec{r}_0$ [m] wirkt, ist

$$ \vec{F}_{\text{Coulomb}} = \frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_0 |^2}\hat{r} \hspace{1cm}\text{[N]}.$$

Dabei ist $\hat{r}$ der Einheitsvektor, der von $\vec{r}_0$ nach $\vec{r}$ zeigt, und $\epsilon_0$ = 8.854187817×10-12 F/m ist die Dielektrizitätskonstante (des Vakuums). Da es eine Kraft zwischen den Teilchen gibt, muß Arbeit aufgewandt werden, um den Abstand zwischen ihnen zu ändern. Da diese Kraft konservativ ist, kann eine potentielle Energie definiert werden:

$$E_{pot} = \frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_0 |} \hspace{1cm}\text{[J]}.$$

Es erweist sich als nützlich, jeder Ladung ein elektrisches Feld und ein elektrostatisches Potential zuzuordnen. Das elektrische Feld der Ladung $q_0$ ist proportional zur Coulombkraft

$$ \vec{E}(\vec{r})= \frac{q_0}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}_0}{|\vec{r}-\vec{r}_0|^3} \hspace{1cm}\text{[V/m]}\qquad \vec{F}_{\text{Coulomb}}=q\vec{E}\hspace{1cm}\text{[N]},$$

und das elektrostatische Potential ist proportional zur potentiellen Energie:

$$\varphi(\vec{r})= \frac{q_0}{4\pi \epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_0|} \hspace{1cm}\text{[V]}\qquad E_{pot}(\vec{r}) = q\varphi (\vec{r})\hspace{1cm}\text{[J]}.$$

Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld, d.h., an jedem Punkt im Raum befindet sich ein Vektor. Das elektrische Feld zeigt von positiven Ladungen weg und zu negativen Ladungen hin. Das elektrische Feld ist der negative Gradient des elektrostatischen Potentials:

$$\vec{E}(\vec{r}) = - \nabla \varphi (\vec{r}).$$

Die Differenz des elektrostatischen Potentials zwischen zwei Punkten kann durch die Integration des elektrischen Felds von einem Punkt zum anderen bestimmt werden:

$$\varphi(\vec{r}_2) - \varphi(\vec{r}_1)=-\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{E}\cdot d\vec{r}.$$

Die Arbeit, die nötig ist, um eine Ladung $q$ von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ zu bewegen, ist minus das Integral der Kraft $q\vec{E}$ über den Weg,

$$W = q(\varphi(\vec{r}_2) - \varphi(\vec{r}_1))=-\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}q\vec{E}\cdot d\vec{r}.$$

Die Elektrostatik beschriebt, wie eine Ladungsdichte eines Systems mit dem elektrischen Feld und dem elektrostatischen Potential zusammenhängt.

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