Elektrisches Feld, das von einem gleichmäßig geladenen langen geraden Draht erzeugt wird

Betrachten Sie einen gleichmäßig geladenen, sehr langen Stab, der mit auf der z-Achse liegt. Die Ladungsdichte ist $\lambda$ Coulombs/meter. Wird der Stab in viele Stücke geteilt die $dz$ lang sind, dann ist die Ladung in jedem Stück $\lambda dz$.

Diese kleine Ladung trägt ein kleines elektrisches Feld $d\vec{E}$ zu dem elektrischen Feld in einem radialen Abstand $R$ vom Stab bei,

$$d\vec{E} = \frac{\lambda dz}{4\pi\epsilon_0(R^2+z^2)}\frac{R}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{R} - \frac{\lambda dz}{4\pi\epsilon_0(R^2+z^2)}\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{z}.$$

Das elektrische Feld hat eine Größe, $|d\vec{E}| =\frac{|\lambda |dz}{4\pi\epsilon_0r^2}$, wobei $r^2 = R^2+z^2$ und eine Richtung, die durch

$$d\hat{E} = \frac{R}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{R} - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{z}.$$

Das gesamte elektrische Feld im radialen Abstand $R$ ist die Summe aller Ladungsbeiträge aus jedem Abschnitt $dz$. Dies kann als zwei Integrale geschrieben werden.

$$\vec{E} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\lambda dz}{4\pi\epsilon_0(R^2+z^2)}\frac{R}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{R}- \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\lambda dz}{4\pi\epsilon_0(R^2+z^2)}\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{z}.$$

Das zweite Integral ist eine ungerade Funktion, die über ein geradzahliges Intervall ausgewertet wird, so dass es Null ist. Aus der Symmetrie geht auch hervor, dass ein unendlich langer Stab kein elektrisches Feld mit einer Komponente parallel zum Stab erzeugen sollte. Das verbleibende Integral kann mit Hilfe folgender Identität durchgeführt werden.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}} = \frac{2}{R^2}.$$

Das elektrische Feld um einen langen, geraden, gleichmäßig geladenen Stab ist in die radiale Richtung $\hat{R}$ gerichtet.


$\hspace{0.5cm}\large \vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 |\vec{R}|}\hat{R}\quad\text{V/m}.\hspace{0.5cm}$

Das elektrostatische Potential ist,

$$\varphi (\vec{r})= \frac{-\lambda}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{R}|\right)\quad\text{[V]}.$$

Dies lässt sich anhand des Gradienten des elektrostatischen Potenzials überprüfen $\vec{E}=-\nabla \varphi$.

Beliebige Ausrichtung der Linie

Stellen Sie sich eine Ansammlung gleichmäßig geladener langer Stäbe vor. Die Position des Stabes $i$ wird durch Angabe einer Richtung $\hat{n}_i$ angegeben, die durch den Punkt $\vec{r}_{i0}$ verläuft. Der Vektor, der von $\vec{r}_{i0}$ auf einen anderen Punkt $\vec{r}$ zeigt, ist $\vec{r}-\vec{r}_{i0}$. Dieser Vektor kann in einen Abstand entlang des Stabes und einen Abstand senkrecht zum Stab zerlegt werden, $\vec{r}-\vec{r}_{i0} = \vec{d}_{\parallel} + \vec{ d}_{\perp}$, wobei die Parallelkomponente die Projektion von $\vec{r}-\vec{r}_{i0}$ auf $\hat{n}_i$ ist, $\vec{d}_{\parallel}=\hat{n}_i\cdot(\vec{r}-\vec{r}_{i0})\,\hat{n}_i$. Der kürzeste Abstand vom Stab zum Punkt $\vec{r}$ beträgt $\vec{R}_i = \vec{d}_{\perp}=(\vec{r}-\vec{r}_{i0 })-\vec{d}_{\parallel}$.

Das elektrostatische Potential und das elektrische Feld am Punkt $\vec{r}$ aufgrund einer Ansammlung geladener Stäbe betragen:

$$\varphi (\vec{r})= \sum_{i=1}^{N}\frac{-\lambda_i}{2\pi \epsilon_0 }\ln\left(|\vec{R}_i| \right)\quad\text{[V]},$$ $$\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{N}\frac{\lambda_i}{2\pi\epsilon_0 |\vec{R}_i|}\hat{ R}_i\quad\text{V/m}.$$

wobei $\vec{R}_i = (\vec{r}-\vec{r}_{i0})-\hat{n}_i\cdot(\vec{r}-\vec{r} _{i0})\,\hat{n}_i$.