Elektrostatisches Potential → Elektrisches Feld → Ladungsdichte

Wenn das elektrostatische Potential nur in einer Richtung variiert (zum Beispiel könnte es in der $x$-Richtung variieren, aber in jeder $y-z$-Ebene konstant sein), dann sind die Gleichungen der Elektrostatik,

\[ \begin{equation} \vec{E}(\vec{r})=-\nabla \varphi(\vec{r}),\qquad \text{and}\qquad \nabla\cdot\vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_r\epsilon_0}, \end{equation} \]

vereinfachen sich zu

$E(x)= - \frac{d\varphi(x)}{dx}, $

$\rho(x) = -\epsilon_r\epsilon_0\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2},$

Berechnungen dieser Art können mit der Numerischen Integration und Differenzierung App durchgeführt werden. Der Differenzierungsteil dieser App wurde unten kopiert, um das elektrische Feld und die Ladungsdichte aus dem elektrostatischen Potential zu berechnen.

$\varphi(x)=$  [V]
im Bereich von $x_1=$  bis $x_2=$  [m]

 $x$ [m]  $\varphi(x)$ [V]

  

$\varphi(x)$ [V]

$x$ [m]

Das elektrische Feld wird numerisch berechnet durch,

$E=-\frac{d\varphi}{dx}\approx -\frac{\varphi(x+\Delta x)-\varphi(x)}{\Delta x}.$

 $x$ [m]  $E$ [V/m]

  

$E$ [V/m]

$x$ [m]

Die Ladungsdichte wird numerisch berechnet durch,

$\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}= \frac{dE}{dx}\approx \frac{E(x+\Delta x)-E(x)}{\Delta x}.$

 $x$ [m]  $\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

  

$\frac{\rho}{\epsilon_r\epsilon_0}$ [V/m²]

$x$ [x]

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