Bewegung eines geladenen Teilchens im konstanten magnetischen Feld

Die Bewegung eines Teilchens mit der Ladung $q$ und der Masse $m$ in einem konstanten magnetischen Feld, welches entlang der $z$-Achse ausgerichtet ist, $\vec{B}=B_z\,\hat{z}$, wird beschrieben durch:

$y$

$x$

 $$\vec{r} =\left( x_0+R\cos(\omega t + \phi)-R\cos(\phi)\right)\,\hat{x} + \left( y_0 + R\sin(\omega t + \phi)-R\sin(\phi)\right)\,\hat{y} + \left(z_0 +v_{z0}t \right)\,\hat{z},$$ $$\vec{v} = -\omega R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{x}+ \omega R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{y} + v_{z0}\,\hat{z},$$ $$\vec{a} = -\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - \omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + 0\,\hat{z},$$ $$\vec{F} = m\vec{a} = -m\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - m\omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + 0\,\hat{z},$$

wobei,

$$\omega = -\frac{qB_z}{m}, \qquad \phi = \text{atan}\left(-\frac{v_{x0}}{v_{y0}}\right),\qquad R=\frac{1}{|\omega|}\sqrt{v_{x0}^2+v_{y0}^2}. $$

$x_0=0$ [m], $y_0=0$ [m], $v_{x0}=0$ [m/s],
$m=1$ [kg], $q=1$ [C]

$B_{z}=$ 0 [T]

$v_{x0}=$ 4 [m/s]

$v_{y0}=$ 4 [m/s]

Die Kraft auf das Teilchen ist die Lorentzkraft:

$$\vec{F} =q\vec{v}\times\vec{B}.$$

Da diese Kraft senkrecht auf der Geschwindigkeit des Teilchens steht, verrichtet diese Kraft keine Arbeit. Dies bedeutet, dass sich die kinetische Energie des Teilchens nicht ändert und sich damit der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert. Aufgrund der Eigenschaften des Kreuzprodukts hängt der Betrag der Kraft nur von der Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum magnetischen Feld ab, $|q\vec{v}\times\vec{B}|=q|\vec{v}_{\perp}||\vec{B}|$. Der Betrag der Kraft ist konstant. Eine Kraft konstanten Betrages, die stets senkrecht zur Geschwindigkeit orientiert ist, verursacht eine kreisförmige Bewegung des Teilchens in der Ebene senkrecht zum $\vec{B}$ Vektor. Der Ortsvektor eines Teilchens in einer Kreisbahn in der $x-y$ Ebene ohne weitere Kraft in $z$-Richtung lautet:

$$\vec{r} =\left( x_0+R\cos(\omega t + \phi)-R\cos(\phi)\right)\,\hat{x} + \left( y_0 + R\sin(\omega t + \phi)-R\sin(\phi)\right)\,\hat{y} + \left(z_0 +v_{z0}t \right)\,\hat{z},$$

Hierbei ist $R$ der Radius des Kreises, $\omega$ die Kreisfrequenz und $\phi$ eine Phase, welche unten näher spezifiziert wird. Beachten Sie, dass zur Zeit $t=0$ der Ort des Teilchens $(x_0,y_0,z_0)$ ist. Die Ableitung bezüglich der Zeit ergibt den Geschwindigkeitsvektor:

$$\vec{v} = -\omega R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{x}+ \omega R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{y} + v_{z0}\,\hat{z}.$$

Die Auswertung dieses Ausdrucks an $t=0$ ergibt die Beziehungen $v_{x0} = -\omega R\sin(\phi)$ und $v_{y0} = \omega R\cos(\phi)$, welche zur Bestimmung von $\phi$ und $R$ benutzt werden können:

$$\tan(\phi)= -\frac{v_{x0}}{v_{y0}}, \qquad R=\frac{1}{|\omega|}\sqrt{v_{x0}^2+v_{y0}^2}.$$

Die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ergibt die Beschleunigung:

$$\vec{a} = -\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - \omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + 0\,\hat{z}.$$

Multipliziert mit der Masse ergibt sich die Kraft:

$$\vec{F} = m\vec{a} = -m\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - m\omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} + 0\,\hat{z}.$$

Der Ausdruck für die Kraft kann $\vec{F} =q\vec{v}\times\vec{B}$ gleichgesetzt werden, wobei in diesem Fall $\vec{v}\times\vec{B}=v_yB_z\,\hat{x}-v_xB_z\,\hat{y}= \omega R\cos(\omega t + \phi)B_z\,\hat{x}+\omega R\sin(\omega t + \phi)B_z\,\hat{y}$.

$$ -m\omega^2 R\cos(\omega t + \phi)\,\hat{x} - m\omega^2 R\sin(\omega t + \phi)\,\hat{y} = q\omega R\cos(\omega t + \phi)B_z\,\hat{x}+\omega R\sin(\omega t + \phi)B_z\,\hat{y}.$$

Durch komponentenweises Gleichsetzen finden wir die Winkelfrequenz

$$\omega = -\frac{qB_z}{m}. $$

Dies ist die sogenannte Zyklotronfrequenz. Ein geladenes Teilchen in einem konstanten magnetischen Feld bewegt sich auf einer Kreisbahn mit der Winkelfrequenz $\omega$, welche nur vom Betrag des magnetischen Feldes und dem Verhältnis von Ladung zur Masse des Teilchens abhängt. Der Radius des Kreises hängt von der Anfangsgeschwindigkeit des Teilches ab. Je grösser die Geschwindigkeit ist, umso grösser wird der Radius. Ist die Anfangsgeschwindigkeit Null, verschwindet die Kraft und das Teilchen bewegt sich nicht. Gibt es eine Anfangsgeschwindigkeit in $z$-Richtung, wird sich das Teilchen mit dieser Geschwindigkeit weiterbewegen, da keine Kaft in diese Richtung wirkt. In diesem Fall wird sich das Teilchen auf einer Spiralbahn entlang der Richtung des Magnetfeldes bewegen. Energiereiche geladene Teilchen von der Sonne bewegen sich auf Spiralbahnen entlang der Feldlinien des Erdmagnetfeldes, die auf den nördlichen und sülichen Magnetpol gerichtet sind. Dort regen die Teilchen Atome und Moleküle in angeregte Zustände an und verursachen so die Nordlichter.

Dieses Problem kann numerisch mit der APP Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 6. Ordnung gelöst werden.

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