Das Magnetfeld um einen unendlich langen geraden DrahtEin Strom $I$ [A] fließt in die positive $z$-Richtung durch einen unendlich langen geraden Leiter, der auf der $z$-Achse liegt. Um das Magnetfeld berechnen zu können, verwenden wir das Biot-Savart Gesetz. Jedes Leitersegment $dz$ erzeugt ein Magnetfeld an der Position $\vec{r}$, $$ d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$Für $\vec{r}$ in der $x-y$ Ebene $\left(\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}\right)$, ist die Summe der Beiträge aller Leitersegmente, $$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ dz\hat{z} \times \left(x\hat{x}+y\hat{y}-z\hat{z}\right)}{\sqrt{r^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$Die Kreuzprodukte sind $\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}$, $\hat{z}\times\hat{y}=-\hat{x}$, $\hat{z}\times\hat{z}=0$, $$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ xdz \hat{y}}{\sqrt{r^2+z^2}^3}-\frac{\mu_0I}{4\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{ ydz \hat{x}}{\sqrt{r^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$Unter Verwendung der Identität, $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{\left(r^2+z^2\right)^{3/2}} = \frac{2}{r^2},$$kann die Gleichung geschrieben werden als, $$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\frac{-y}{r^2}\hat{x}+ \frac{x}{r^2}\hat{y}\right)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hat{z}\times\hat{r}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$Das Magnetfeld zeigt in die azimutale Richtung senkrecht zu $\hat{z}$ und $\hat{r}$. Das Magnetfeld bildet Kreise rund um den Leiter. Die Richtung der Magnetfeldlinien ist gegeben durch die Rechte-Hand-Regel, zeigen Sie mit dem Daumen der rechten Hand in die Richtung des Stromflusses, nun zeigen Ihre abgewinkelten Finger in Richtung des Magnetfeldes.
Das Ampère'sche Gesetz kann auch zur Berechnung des Magnetfeldes verwendet werden. Die integrale Form des Ampère-Gesetzes ist, $$\oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc},$$wobei das Magnetfeld entlang einer geschlossenen Kurve $C$ integriert ist und $I_{enc}$ der Strom ist, der durch $C$ fließt. Für einen langen geraden Draht entscheiden wir uns, das Magnetfeld entlang eines Kreises um den Draht herum zu integrieren. Da die Integration um die Schleife herum durchgeführt wird, ist $d\vec{l}$ bei jedem Schritt parallel zu $\vec{B}$. Da $|\vec{B}|$ entlang der Schleife konstant ist, ist das Ergebnis des Linienintegrals, $$\oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=2\pi r |\vec{B}|.$$Das ergibt die gleiche Formel für das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht, wie sie mit dem Biot-Savart-Gesetz bestimmt wurde. $$|\vec{B}(\vec{r})|=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$Beliebige AusrichtungStellen Sie sich einen langen geraden Draht vor, bei dem der Strom $I$ in die Richtung $\hat{n}$ fließt, die durch den Punkt $\vec{r}_0$ verläuft. Der Vektor, der von $\vec{r}_0$ auf einen anderen Punkt $\vec{r}$ zeigt, ist $\vec{r}-\vec{r}_0$. Dieser Vektor kann in einen Abstand entlang des Drahtes und einen Abstand senkrecht zum Draht zerlegt werden, $\vec{r}-\vec{r}_0 = \vec{d}_{\parallel} + \vec{d}_ {\perp}$, wobei die Parallelkomponente die Projektion von $\vec{r}-\vec{r}_0$ auf $\hat{n}$ ist, $\vec{d}_{\parallel}=\hat{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)\,\hat{n}$. Der kürzeste Abstand vom Draht zum Punkt $\vec{r}$ beträgt $\vec{d}_{\perp}=(\vec{r}-\vec{r}_0)-\vec{d}_{ \parallel}$. Das Magnetfeld am Punkt $\vec{r}$ aufgrund des durch diesen Draht fließenden Stroms beträgt: $$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{2\pi|\vec{d}_{\perp}|}\,\hat{n}\times\hat{ d}_{\perp}\,\,\text{[T]}.$$Die Richtung des Magnetfelds ergibt sich aus dem Kreuzprodukt von $\hat{n}$ (der Richtung, in der der Strom fließt) und $\hat{d}_{\perp}$ (dem Einheitsvektor senkrecht zu der Draht, der auf den Punkt $\vec{r}$ zeigt).
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