Das Magnetfeld entlang der Achse einer Stromschleife

Ein Strom $I$ [A] fließt in einer kreisförmigen Leiterschleife mit dem Radius $R$, die in der $x-y$-Ebene liegt. Um das Magnetfeld entlang der $z$-Achse zu berechnen, kann das Biot-Savart Gesetz verwendet werden.

$$ d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Der Beitrag zum Feld des Leitersegmentes $d\vec{r}$ entlang der $x$-Achse ist,

$$ d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I dy\hat{y} \times (z\hat{z}-R\hat{x})}{\sqrt{R^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

$\hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}$ und $\hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z}$.

$$ d\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I dy (z\hat{x}+R\hat{z})}{\sqrt{R^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Die Summe der horizontalen Komponenten aller Leitersegmente rund um den Kreis ergibt Null, also ist das Feld an der Position $z$,

$$\vec{B}(z)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I 2 \pi R^2\hat{z}}{\sqrt{R^2+z^2}^3}=\frac{\mu_0I R^2\hat{z}}{2\sqrt{R^2+z^2}^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Bei großen Entfernungen zur Leiterschleife fällt die Amplitude des Magnetfeldes mit $\frac{1}{z^3}$ ab.

Wenn solche Schleifen übereinander gelegt werden, so dass es $n$ Leiterschleifen pro Meter gibt, dann kann das Feld berechnet werden durch die Aufsummierung der Beiträge aller Schleifen.

$$\vec{B}(z) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu_0nI R^2dz}{2\sqrt{R^2+z^2}^3}\hat{z}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Unter Verwendung der Identität,

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{\left(R^2+z^2\right)^{3/2}} = \frac{2}{R^2},$$

erhalten wir das einfache Ergebnis,

$$\bbox[10px, border: 1px solid black]{\vec{B} = \mu_0nI \,\hat{z} \hspace{1cm}\text{[T].}}$$

Dies ist das Ergebnis für das Magnetfeld in einer Magnetspule mit $n$ Wicklungen pro Meter.