Magnetostatik

Magnetostatik beschreibt die Beziehung zwischen elektrischem Strom und Magnetfeldern. Jeder elektrische Strom erzeugt ein Magnetfeld. Wenn der Strom bekannt ist, kann das Feld berechnet werden und umgekehrt, wenn das Feld bekannt ist, kann man den Strom berechnen. Ein von konstanten elektrischen Strömen erzeugtes Magnetfeld kann mithilfe des Biot-Savart Gesetzes berechnet werden.

\begin{equation} \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}. \end{equation}

Hier ist $\mu_0= 4\pi \times 10^{-7}$ T m/A die Permeabilitätskonstante. Im Allgemeinen muss dieses Integral numerisch gelöst werden, aber es gibt zwei spezielle Fälle für die das Integral ausgeführt werden kann: ein unendlich langer gerader Draht und eine Zylinderspule.

Sobald das Magnetfeld bekannt ist, kann es verwendet werden um die Kraft zu berechnen, die auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkt. Diese Kraft kann berechnet werden durch Summieren der Lorentzkraft $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$ für jedes Teilchen mit der Ladung $q$ und Geschwindigkeit $\vec{v}$, welche den Strom ausmachen. Diese Kraft wird in Elektromotoren ausgenutzt.

Wenn das Magnetfeld bekannt ist, kann die Stromdichte $\vec{J}$ nach dem Ampère'schen Gesetz bestimmt werden. Es gibt zwei Formen des Ampère-Gesetzes. Die Differentialform erlaubt uns, die Stromdichte zu berechnen,

$$\nabla\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J}.$$

Hier ist der curl $\nabla\times\vec{B}$ definiert als,

$$\nabla\times\vec{B}=\left(\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z}\right)\hat{x}+ \left(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}\right)\hat{y}+ \left(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}\right)\hat{z}.$$

$\vec{B}(x,y,z)=$  $\hat{x}$ +  $\hat{y}$ +  $\hat{z}$  
$\nabla\times \vec{B} = $ ()$\hat{x}$ + ()$\hat{y}$ + ()$\hat{z}$

Das Gesetz von Ampère kann mithilfe des Stokes'schen Satzes in integraler Form umgeschrieben werden. Die Integralform bezieht das Linienintegral des Magnetfeldes, das einmal um eine geschlossene Kurve $C$ geht, auf den Strom $I_{enc}$, der die Kurve durchläuft,

$$\oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc}.$$

Das Ampère-Gesetz kann mit der folgenden Simulation veranschaulicht werden.


http://public.mitx.mit.edu/gwt-teal/AmperesLaw.html