Magnetostatik

Die Magnetostatik beschreibt den Zusammenhang zwischen elektrischen Strömen und magnetischen Feldern. Jede bewegte elektrische Ladung erzeugt ein magnetisches Feld. Das Magnetfeld einer Punktladung $q$, die sich mit konstanter Geschwindigkeit $\vec{v}$ bewegt, beträgt

$$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q \vec{v} \times (\vec{r}-\vec{r}_{charge})}{|\vec{r}-\vec{r}_{charge}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}.$$

Dabei ist $\mu_0= 4\pi \times 10^{-7}$ T m/A die Vakuumpermeabilität, $\vec{r}_{charge}$ die Position der Ladung und $\vec{r}$ die Position, an der das Magnetfeld berechnet wird. Die Bewegung vieler Ladungen, die sich gemeinsam bewegen, kann durch einen Strom beschrieben werden. Das durch konstante elektrische Ströme erzeugte Magnetfeld kann mit Hilfe des Biot-Savartschen Gesetzes berechnet werden, \begin{equation} \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}. \end{equation}

Dies ist das Magnetfeld, das von einem kurzen Drahtstück erzeugt wird. Die Länge des Drahtstücks ist $|d\vec{r}_{wire}|$ und die Richtung von $d\vec{r}_{wire}$ ist die Richtung, in der der Strom $I$ fließt. Isolierte Stromabschnitte gibt es in der Natur nicht. Irgendwo muss immer Strom fließen. Um das gesamte Magnetfeld zu berechnen, muss man daher in der Regel über viele miteinander verbundene Stromabschnitte summieren.

\begin{equation} \vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I d\vec{r}_{wire} \times (\vec{r}-\vec{r}_{wire})}{|\vec{r}-\vec{r}_{wire}|^3}\hspace{1cm}\text{[T]}. \end{equation}

Im Allgemeinen muss dieses Integral numerisch gelöst werden, aber es gibt zwei spezielle Fälle für die das Integral ausgeführt werden kann: ein unendlich langer gerader Draht und eine Zylinderspule.

Sobald das Magnetfeld bekannt ist, kann es verwendet werden um die Kraft zu berechnen, die auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkt. Diese Kraft kann berechnet werden durch Summieren der Lorentzkraft $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$ für jedes Teilchen mit der Ladung $q$ und Geschwindigkeit $\vec{v}$, welche den Strom ausmachen. Diese Kraft wird in Elektromotoren ausgenutzt.

Wenn das Magnetfeld bekannt ist, kann die Stromdichte $\vec{J}$ nach dem Ampère'schen Gesetz bestimmt werden. Es gibt zwei Formen des Ampère-Gesetzes. Die Differentialform erlaubt uns, die Stromdichte zu berechnen,

$$\nabla\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J}.$$

Hier ist der curl $\nabla\times\vec{B}$ definiert als,

$$\nabla\times\vec{B}=\left(\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z}\right)\hat{x}+ \left(\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}\right)\hat{y}+ \left(\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y}\right)\hat{z}.$$

$\vec{B}(x,y,z)=$  $\hat{x}$ +  $\hat{y}$ +  $\hat{z}$  
$\nabla\times \vec{B} = $ ()$\hat{x}$ + ()$\hat{y}$ + ()$\hat{z}$

Das Gesetz von Ampère kann mithilfe des Stokes'schen Satzes in integraler Form umgeschrieben werden. Die Integralform bezieht das Linienintegral des Magnetfeldes, das einmal um eine geschlossene Kurve $C$ geht, auf den Strom $I_{enc}$, der die Kurve durchläuft,

$$\oint\limits_{C}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 I_{enc}.$$

Das Ampère-Gesetz kann mit der folgenden Simulation veranschaulicht werden.


http://public.mitx.mit.edu/gwt-teal/AmperesLaw.html