Kreisbewegung

Your browser does not support the canvas element. $$\large \vec{r}=R\cos(\omega t)\,\hat{x} + R\sin(\omega t)\,\hat{y}.$$ $$\large \vec{v}=-\omega R\sin(\omega t)\,\hat{x} + \omega R\cos(\omega t)\,\hat{y}.$$ $$\large \vec{a}=-\omega^2 R\cos(\omega t)\,\hat{x} - \omega^2 R\sin(\omega t)\,\hat{y} =-\omega^2\vec{r}.$$ $$\large \vec{F}=-m\omega^2 R\cos(\omega t)\,\hat{x} - m\omega^2 R\sin(\omega t)\,\hat{y}=-m\omega^2\vec{r}= -m\frac{|\vec{v}|^2}{R^2}\vec{r}.$$

Der Ortsvektor eines Teilchens, das sich im Kreis bewegt, ist

$$\vec{r}=R\cos(\omega t)\,\hat{x} + R\sin(\omega t)\,\hat{y}.$$

Die Kreisbewegung (repräsentiert durch die rote Kugel) ist die Überlagerung einer harmonischen Bewegung $R\cos (\omega t)$ in $x$-Richtung (repräsentiert durch die blaue Kugel) und einer harmonischer Bewegung $R\sin (\omega t)$ in die $y$-Richtung (repräsentiert durch die grüne Kugel).

Dank der Identität $\sin^2\theta+\cos^2\theta =1$, kann man zeigen, dass die Länge des Ortsvektors $|\vec{r}|=R$ zeitunabhängig wird,

$$|\vec{r}|=\sqrt{R^2\cos^2(\omega t)+R^2\sin^2(\omega t)}=R.$$

Der Geschwindigkeitsvektor ist die Ableitung des Ortsvektors bezüglich der Zeit,

$$\vec{v}=-\omega R\sin(\omega t)\,\hat{x} + \omega R\cos(\omega t)\,\hat{y}.$$

Die Länge des Geschwindigkeitsvektors ist $|\vec{v}|=\omega R$. Da $\omega = \frac{2\pi}{T}$, wobei $T$ die Periodendauer ist, entspricht die Geschwindigkeit dem Umfang des Kreises dividiert durch die Zeit, welche benötigt wird, einmal den Kreis vollständig zu durchlaufen, $|\vec{v}|=\frac{2\pi R}{T}.$

Der Ortsvektor zeigt radial vom Kreismittelpunkt nach aussen. Der Geschwindigkeitsvektor ist tangential zum Kreis gerichtet. Der Ortsvektor und der Geschwindigkeitsvektor stehen stets senkrecht aufeinander, $\vec{r}\cdot\vec{v}=-\omega R^2\cos(\omega t)\sin(\omega t)+ \omega R^2\cos(\omega t)\sin(\omega t) = 0$.

Der Beschleunigungsvektor ist die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors,

$$\vec{a}=-\omega^2 R\cos(\omega t)\,\hat{x} - \omega^2 R\sin(\omega t)\,\hat{y}.$$

Der Beschleunigungsvektor ist proportional zum Ortsvektor $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$ und zeigt in radialer Richtung zum Kreismittelpunkt. Der Beschleunigungsvektor steht zudem senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor $\vec{a}\cdot\vec{v}=0$, and has a length, $|\vec{a}|= \omega^2R$.

Die Kraft ist Masse mal Beschleunigung, $\vec{F}=m\vec{a}$, und ist damit proportional zum Ortsvektor. Sie zeigt in radialer Richtung zum Kreismittelpunkt.

$$\vec{F}=-m\omega^2 R\cos(\omega t)\,\hat{x} - m\omega^2 R\sin(\omega t)\,\hat{y}=-m\omega^2\vec{r}.$$

Die Länge des Kraftvektors ist $|\vec{F}|=m\omega^2R=\frac{mv^2}{R}$. Die Kraft die benötigt wird, um das Teilchen auf der Kreisbahn zu bewegen, nennt man Zentripedalkraft. Die Kraft wächst mit dem Quadrat der Winkelfrequenz $\omega$.