Analytische Lösungen für Differentialgleichungen

Beispiele:

<h3>Ein Ball wird in gerader Linie nach oben geworfen</h3>

<p>Ein Ball wird vertikal in gerader Linie nach oben geworfen und hat dabei eine Anfangsgeschwindigkeit von $v_0=10$ m/s.
Auf den Ball wirkt eine Reibungskraft, die von seiner Geschwindigkeit abhängt.
Die gesamte Kraft auf den Ball ist die Summe der Schwerkraft und der Reibungskraft $F=-mg-bv_x$.
Wobei $F$ die Kraft, $m$ die Masse des Balls, $g=9.81$ m/s² die Erdbeschläunigung, $b$ der Reibungskoeffizient, und $v_x$ die Geschwindigkeit des Balls ist.
Wir nehmen dabei an, dass sich der Ball entlang der $x$-Achse bewegt und können dann die Bewegung des Balls mit dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung beschreiben: $m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}=-mg$.
Sie können diese Gleichung mit dem Programm unten lösen.   
</p>

</table>

</form>

<p>Wenn sich die Schwerkraft und die Reibungskraft ausgleichen wird sich der Ball mit der Endgeschwindikeit $v_{\text{terminal}}$ fortbewegen. $v_{\text{terminal}}=-mg/b=$ <span id="termv">-24.5</span> m/s.</p>

<h3>Gedämpfte Federschwingung</h3>

<p>Wir haben bereits betrachtet, dass ein gedämpftes Massen-Feder-System oszillierende Lösungen besitzt und dass manchmal exponentiell abfallende Lösungen auftreten. Um analytische Lösungen zu finden, ist anzunehmen dass eine Lösung der Form $x(t)=Ce^{\lambda t}$ existiert, wobei $C$ und $\lambda$ Konstanten sind. Diese Lösung kann in die Differentialgleichung eingefügt werden und es kann durch Ableiten eine algebraische Gleichung von $\lambda$ gefunden werden. Bei reellem $\lambda$ handelt es sich um eine rein exponentiell abfallende Lösung ohne Oszillationen. Ist $\lambda$ jedoch komplex, gilt für die Lösungen: $x(t)=Ce^{\text{Re}(\lambda)t+i\text{Im}(\lambda)t}$. Mithilfe der Eulerschen Gleichung kann dieses zu $x(t)=Ce^{\text{Re}(\lambda)t}(\cos(\text{Im}(\lambda)t+i\sin(\text{Im}(\lambda)t)$ umgeschrieben werden. Für komplexe $\lambda$ enthält die Lösung Oszillationsanteile. Der folgender Rechner löst Differentialgleichungen. Lösungen für den ungedämpften Oszillator, Schwingfall, aperiodischen Grenzfall und Kriechfall können durch Wählen der Parameter $m$, $b$ und $k$ bestimmt werden.</p>

<p>Ein Objekt mit der Masse $m$ ist mit einer Feder mit Federkonstante $k$ verbunden.
Die Feder wird 2 cm von ihrer Ruheposition ausgelenkt.
Wenn die Feder versucht sich wieder in ihre Ruheposition zurück zu Bewegen wirkt auf die Masse eine Reibungskraft, die der Bewegungsrichtung entgegensetzt ist: $F_{\text{drag}}=-bv_x$.
Mit $b$ der Reibungskonstante.
Wir nehmen dabei an, dass sich das Objekt entlang der $x$-Achse bewegt.
Die Bewegung des Objekts kann dabei mit folgender Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden: $m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=0$.
Sie können diese Gleichung mit dem Programm unten lösen.   
</p>

</table>

</form>

<p style="text-align:center"><span id="termv">Die Periodendauer der Schwingung beträgt $T=2\pi/\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m}}=$ 6.66 s.</span></p>






	Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805

Analytische Lösungen für Differentialgleichungen

Lösung Differentialgleichungen zweiter Ordnung