 | Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805 |
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Ungedämpfte Schwingungen eines Masse-Feder-SystemsEine Masse der Größe $m$ ist befestigt an einer linearen Feder, mit der Federkonstante $k$. Die Kraft auf die Masse ist duch das Hook'sche Gesetz gegeben, $F=-kx$. Wenn die Masse angeschubst wird, dann wird sie in Schwingung der Form $x(t) = A\cos (\omega t)$ versetzt. Hierbei ist $A$ die Amplitude der Bewegung, und $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit. Newton's Gesetz kann in diesem Fall als Differentialgleichung geschrieben werden, $$ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0.$$Durch Substituieren von $x(t)$ in die Differentialgleichung erhält man, $$ -m\omega^2A\cos(\omega t) + kA\cos(\omega t) = 0.$$Somit ist die Winkelgeschwindigkeit, $$\omega^2= \frac{k}{m}.$$Weil es keine Dämpfung gibt, nimmt die Amplitude der Schwingung nicht mit der Zeit ab. Die Energie des Systems bleibt konstant. Die kinetische Energie der Masse wird in potentielle Energie umgewandelt und in der Feder gespeichert, und dann wieder zurück in kinetische Energie der Masse umgewandelt. Für die Anfangsbedingungen $x(t=0) = x_0$, $v_x(t=0) = v_{x0}$ lautet die Lösung $$x(t) = x_0\cos (\omega t) +\frac{v_{x0}}{\omega}\sin (\omega t).$$Verwenden Sie den Differentialgleichungsrechner, um die Bewegung der Feder zu visualisieren. Die Kreisfrequenz beträgt $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=$ 0.707 rad/s. Die Periode der Schwingungen beträgt $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=$ 8.89 s.
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