Parametrischer Oszillator

Ein Parametrischer Oszillator ist ein System, das Schwingungen erzeugt, wenn einige Parameter des Systems periodisch verändert werden. Ein typisches Beispiel ist ein Kind auf einer Schaukel. Für Schwingungen kleiner Amplitude ist die rücktreibende Kraft $-\frac{mg}{l}x$, mit $m$ der Masse, $l$ der Länge der Schaukel, und $g=9.81$ m/s² der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche. Wird die Länge der Schaukel periodisch verändert, wird das System von folgender Differentialgleichung gelöst:

\[ \begin{equation} m\frac{d^2x}{dt^2}+b \frac{dx}{dt}+\frac{mg}{l(1-A\cos(\Omega t))}x=0. \end{equation} \]

Größere Amplituden werden erzeugt, wenn die Regulierung ungefähr zweimal die Resonanzfrequenz ist. Für die meisten Parameter wird keine parametrische Verstärkung beobachtet.

$m=$ 1 [kg]

$b=$ 0.2 [kg/s]

$l=$ 0.5 [N/m]

$A=$ 0.4 [N]

$\Omega=$ 8 [rad/s]

Die Resonanzfrequenz ist $\omega=\sqrt{g/l-b^2/4m^2}=$ 4.43 rad/s.

 Numerical 2nd order differential equation solver 

$ \large \frac{dx}{dt}=$

$v_x$

$ \large a_x=\frac{F_x}{m}=\frac{dv_x}{dt}=$

Intitial conditions: 

$x(t_0)=$

 

$\Delta t=$

$v_x(t_0)=$

 

$N_{steps}$

$t_0=$

 

Plot:

vs.

 

 $t$       $x$      $v_x$