Chaotische Lösungen des angeregten PendelsManche Differentialgleichungen besitzen analytische Lösungen die durch Therme einfacher Funktionen wie $\sin(t)$ oder $\exp(t)$ ausgedrückt werden können. Die Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen können üblicherweise nur sehr schwer numerisch ausgedrückt werden, allerdings kann manchmal ein analytischer Ausdruck für eine Näherungslösung gefunden werden. Es gibt jedoch manche Differentialgleichungen die ein chaotisches Lösungsverhalten aufweisen. Für eine chaotische Lösung ist es nicht möglich einen analytischen Ausdruck zu finden. Ein System das solche chaotischen Lösungen besitzt ist das angetriebene Pendel. Folgende Differentialgleichung welche die Bewegung des Pendels beschreibt, kann normalisiert geschrieben werden als, [Fitzpatrick 2006], \[ \begin{equation} \large \frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{1}{q}\frac{d\theta}{dt}+\sin(\theta)=A\cos(\Omega t), \end{equation} \]hier beschreibt $q$ die Dämpfung, $A$ beschreibt das Drehmoment, das für das Antreiben des Pendels mit Frequenz $\Omega$ verwendet wird und $\theta$ ist der von der Vertikalen gemessene Winkel. Bei $\theta=0$ hängt das Pendel nach unten und bei $\theta=\pi$ steht das Pendel aufrecht nach oben. Die linke Abbildung zeigt eine Simulation des angetriebenen Pendels. Die mittlere Abbildung ist eine Darstellung des Phasenraumes (Phasenportrait), wobei hier $\sin\theta$ horizontal und $\frac{d\theta}{dt}$ vertikal aufgetragen wird. Die rechte Abbildung ist die Poincaré map. Ein roter Punkt bei $(\sin\theta,\frac{d\theta}{dt})$ wird jedes mal in die Poincaré map gezeichnet wenn $\Omega t = 2\pi n$ ist, wobei $n$ eine ganze Zahl ist.
Für die Parameter $q=2$ und $\Omega=0.67$:
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