Vier Fälle eines angetriebenen Oszillators

<h3 style="text-align:center">Reine Resonanz $b=0,\quad\omega=\sqrt{k/m}$</h3>

<p>Wird ein ungedämpfter Schwingung mit seiner Resonanzfrequenz $\Omega = \omega = \sqrt{k/m}$ getrieben, so wächst die Lösung kontinuierlich mit der Zeit. Dies wird als reine Resonanz bezeichnet. Die Differentialgleichung, die eine reine Resonanz beschreibt, lautet</p>

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0\cos(\Omega t).\qquad (1)$$

<p>Die Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und der speziellen Lösung. Die spezielle Lösung ist,</p>

$$x_p(t) = \frac{F_0}{2\Omega m}t\sin (\Omega t).$$

<p>Wir können zeigen, dass dies eine Lösung ist, indem wir zweimal differenzieren und in die Differentialgleichung (1) einsetzen.</p>

$$\frac{dx_p}{dt} = \frac{F_0}{2\Omega m}\sin (\Omega t)+\frac{F_0}{2 m}t\cos (\Omega t).$$

$$\frac{d^2x_p}{dt^2} = \frac{F_0}{2 m}\cos (\Omega t)+\frac{F_0}{2 m}\cos (\Omega t)-\frac{\Omega F_0}{2 m}t\sin (\Omega t).$$

<p>Da $k/m = \Omega^2$, löst $x_p$ Gl. (1).</p>

<p>Die homogenen Lösungen lösen die Differentialgleichung,</p>

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0.\qquad (2)$$

<p>Die homogenen Lösungen sind,</p>

$$x_h(t) = C_1\cos (\omega t) +C_2\sin (\omega t),$$

<p>wobei $\omega = \sqrt{k/m}$. Die homogenen Lösungen lösen Gl. (2) für jeden Wert von $C_1$ und $C_2$, wie durch Einsetzen der homogenen Lösung in die Differentialgleichung (2) demonstriert werden kann. Die Gesamtlösung ist</p>

$$x(t) = C_1\cos (\omega t) +C_2\sin (\omega t)+\frac{F_0}{2\Omega m}t\sin (\Omega t).$$

<p>Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$. Praktischerweise sind $x_p(t=0) = 0$ und $\frac{dx_p}{dt}(t=0) = 0$, sodass die $C_1$ und $C_2$ leicht ausgewertet werden können und die Lösung lautet:</p>

$$\bbox[10px, border: 1px solid black]{x(t) = x_0\cos (\omega t) +\frac{v_{x0}}{\omega}\sin (\omega t)+\frac{F_0}{2\Omega m}t\sin (\Omega t).}$$

</table>
</form>

<h3 style="text-align:center">Schwingfall $b^2\lt 4km$</h3>

<p>Eine gedämpfte, getriebene Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben</p>

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t).\qquad (1)$$

$$x_p(t) = \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),$$

$$\rho = \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm} \tan\theta = \frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}.$$

<p>Diese spezielle Lösung wurde in der Diskussion der <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/oscillations/resonance.de.php">Resonanz des gedämpften angetriebenen Oszillator</a> abgeleitet. Dass dies eine Lösung ist, kann durch zweimaliges Differenzieren und Einsetzen in die Differentialgleichung (1) gezeigt werden. Die homogenen Lösungen lösen die Differentialgleichung,</p>

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0.\qquad (2)$$

<p>Die homogenen Lösungen haben die Form,</p>

$$x_h(t) = \exp \left(-t/\tau\right)\left(C_1\cos (\omega t) + C_2\sin(\omega t)\right).$$

<p>wo

$$\omega=\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}\qquad\text{and}\qquad\tau=\frac{2m}{b}.$$

<p>Die homogenen Lösungen lösen Gl. (2) für jeden Wert von $C_1$ und $C_2$, wie durch Einsetzen der homogenen Lösung in die Differentialgleichung (2) demonstriert werden kann. Die Gesamtlösung ist,</p>

$$x(t) = \exp \left(-t/\tau\right)\left(C_1\cos (\omega t) + C_2\sin(\omega t)\right) + \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),\\ v(t)= -\frac{\exp \left(-t/\tau\right)}{\tau}\exp \left(-t/\tau\right)\left(C_1\cos (\omega t) + C_2\sin(\omega t)\right)+\exp \left(-t/\tau\right)\left(- C_1\omega\sin (\omega t) + C_2\omega\cos(\omega t)\right) - \frac{\Omega F_0}{\rho}\sin (\Omega t -\theta).$$

<p>Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$.</p>

$$C_1 = x_0 - \frac{F_0}{\rho}\cos ( \theta), \qquad C_2 = \frac{v_{x0}}{\omega}+ \frac{x_0}{\omega \tau} - \frac{F_0}{\rho\omega\tau}\cos ( \theta)-\frac{F_0\Omega}{\rho\omega}\sin ( \theta).$$

<tr><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$b/\sqrt{4km}=$ </b><span id="Btext">0.1</span> </p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_B.value=data.slide_B.value-0.01; plot_under();"><input type='range' min='0' max='0.99' step='0.01' name='slide_B' value='0.01' oninput="plot_under();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_B.value=eval(data.slide_B.value) + 0.1; plot_under();"></td><td> </td><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$\Omega=$ </b><span id="Etext">1</span> [rad/s]</p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_E.value=data.slide_E.value-0.1; plot_under();"><input type='range' min='0' max='10' step='0.1' name='slide_E' value='1' oninput="plot_under();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_E.value=eval(data.slide_E.value) + 0.1; plot_under();"></td></tr>

<tr><td colspan = "2">$\omega=$ <span id="omegatext"></span> rad/s, $\tau=$ <span id="tautext"></span> s, $\rho=$ <span id="rhotext"></span> N/m, $\theta=$ <span id="thetatext"></span> rad, $b=$ <span id="b_text"></span> N s/m.</td><td> </td><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$v_{x0}=$ </b><span id="Gtext">1</span> [m/s]</p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_G.value=data.slide_G.value-0.1; plot_under();"><input type='range' min='-2' max='2' step='0.1' name='slide_G' value='1' oninput="plot_under();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_G.value=eval(data.slide_G.value) + 0.1; plot_under();"></td></tr>

</table>

<h3 style="text-align:center">Aperiodischer Grenzfall  $b^2= 4km$</h3>

<p>Eine gedämpfte, getriebene Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben,</p>

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t).\qquad (1)$$

<p>Wenn $b^2-4km = 0$ ist, ist das System kritisch gedämpft und die Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und der speziellen Lösung. Die spezielle Lösung ist,</p>

$$x_p(t) = \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),$$

$$\rho = \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}\hspace{1cm}\text{and}\hspace{1cm} \tan\theta = \frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}.$$

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0.\qquad (2)$$

<p>Die homogenen Lösungen haben die Form,</p>

$$x(t) = C_1 \exp \left(-t/\tau\right)+C_2t \exp \left(-t/\tau\right),$$

$$\tau=\frac{2m}{b}.$$

$$x(t) = C_1 \exp \left(-t/\tau\right)+C_2t \exp \left(-t/\tau\right) + \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta).$$

<p>Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$.</p>

$$C_1 = x_0-\frac{F_0}{\rho}\cos (\theta),\qquad C_2 = v_{x0} +\frac{C_1}{\tau} -\frac{\Omega F_0}{\rho}\sin ( \theta).$$

<tr><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$b=\sqrt{4km}=$ </b><span id="Btext">0.1</span> </p></td><td></td><td> </td><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$\Omega=$ </b><span id="Etext">1</span> [rad/s]</p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_E.value=data.slide_E.value-0.1; plot_critically();"><input type='range' min='0' max='10' step='0.1' name='slide_E' value='1' oninput="plot_critically();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_E.value=eval(data.slide_E.value) + 0.1; plot_critically();"></td></tr>

<tr><td colspan="2">$\tau=$ <span id="tautext"></span> s, $\rho=$ <span id="rhotext"></span> N/m, $\theta=$ <span id="thetatext"></span> rad</td><td> </td><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$v_{x0}=$ </b><span id="Gtext">1</span> [m/s]</p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_G.value=data.slide_G.value-0.1; plot_critically();"><input type='range' min='-2' max='2' step='0.1' name='slide_G' value='1' oninput="plot_critically();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_G.value=eval(data.slide_G.value) + 0.1; plot_critically();"></td></tr>

</table>

<h3 style="text-align:center">Kriechfall  $b^2 > 4mk$</h3>

<p>Eine gedämpfte, getriebene Schwingung wird durch die Gleichung beschrieben,</p>

$$m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t).\qquad (1)$$

<p>Wenn $b^2-4km > 0$ ist, ist das System überdämpft und die Lösung ist die Summe aus der homogenen Lösung und der speziellen Lösung. Die spezielle Lösung ist,</p>

$$x_p(t) = \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta),$$

$$\rho = \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}\hspace{1cm}\text{and}\hspace{1cm} \tan\theta = \frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}.$$

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0.\qquad (2)$$

<p>Die homogenen Lösungen haben die Form,</p>

$$x(t) = C_1 \exp \left(- t/\tau_1\right)+ C_2 \exp \left(- t/\tau_2\right),$$

$$ \tau_1 = \frac{2m}{b-\sqrt{b^2-4km}},\qquad\tau_2 = \frac{2m}{b+\sqrt{b^2-4km}}.$$

$$x(t) = C_1 \exp \left(- t/\tau_1\right)+ C_2 \exp \left(- t/\tau_2\right) + \frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta).$$

<p>Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ lassen sich aus den Anfangsbedingungen bestimmen: $x_0$ ist die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ ist die Geschwindigkeit bei $t=0$.</p>

$$C_1 = \frac{\tau_1}{\tau_1-\tau_2}\left(\tau_2v_{x0} +x_0 - \frac{\tau_2\Omega F_0}{\rho}\sin (\theta)-\frac{F_0}{\rho}\cos (\theta)\right),$$

$$C_2 =  \frac{\tau_2}{\tau_2-\tau_1}\left(\tau_1v_{x0} +x_0  - \frac{\tau_1\Omega F_0}{\rho}\sin (\theta)-\frac{F_0}{\rho}\cos (\theta)\right).$$

<tr><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$b/\sqrt{4km}=$ </b><span id="Btext">1</span> </p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_B.value=data.slide_B.value-0.1; plot_over();"><input type='range' min='1.01' max='20' step='0.1' name='slide_B' value='1' oninput="plot_over();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_B.value=eval(data.slide_B.value) + 0.1; plot_over();"></td><td> </td><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$\Omega=$ </b><span id="Etext">1</span> [rad/s]</p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_E.value=data.slide_E.value-0.1; plot_over();"><input type='range' min='0' max='10' step='0.1' name='slide_E' value='1' oninput="plot_over();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_E.value=eval(data.slide_E.value) + 0.1; plot_over();"></td></tr>

<tr><td colspan="2">$\tau_1=$ <span id="tau1text"></span> s, $\tau_2=$ <span id="tau2text"></span> s, $\rho=$ <span id="rhotext"></span> N/m, $\theta=$ <span id="thetatext"></span> rad $b=$ <span id="b_text"></span> N s/m</td><td> </td><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$v_{x0}=$ </b><span id="Gtext">1</span> [m/s]</p></td><td><input type="button" value="-" onclick="data.slide_G.value=data.slide_G.value-0.1; plot_over();"><input type='range' min='-2' max='2' step='0.1' name='slide_G' value='1' oninput="plot_over();" /><input type="button" value="+" onclick="data.slide_G.value=eval(data.slide_G.value) + 0.1; plot_over();"></td></tr>

</table>
<table align="center"><tr><td>
 $t$ [s] $x$ [m] $v_x$ [m/s]<br />
<textarea name="text" rows="5" cols="30" wrap="off">






	Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805