DopplereffektDie Position eines Wellenemitters ist gegeben durch den Vektor $\vec{r}_s(t)$. Diese Quelle emittiert Wellen der Frequenz $f_s$. Diese Wellen laufen mit der Geschwindigkeit $c$ auf einen Beobachter zu. Der Positionsvektor des Beobachters ist $\vec{r}_o(t)$. Aufgrund der Relativbewegung zwischen Emitter und Beobachter nimmt der Beobachter eine Frequenz $f_o$ wahr, die von $f_s$ verschieden sein kann. Ein Wellenberg verlässt die Quelle bei $t_0$, bei der die Quelle sich an $\vec{r}_s(t_0)$ befindet. Dieser Wellenberg erreicht den Beobachter zur Zeit $t_1$, der sich an $\vec{r}_o(t_1)$ befindet. Der Schall bewegt sich von $\vec{r}_s(t_0)$ nach $\vec{r}_o(t_1)$ in der Zeit $t_1 -t_0 = |\vec{r}_o(t_1) - \vec{r}_s(t_0)|/c$. Der nächste Wellenberg verlässt die Quelle bei $t_0+T$, die sich an $\vec{r}_s(t_0+T)$ befindet. Dabei ist $T$ die Periodendauer, $T=1/f_s$. Dieser Wellenberg erreicht den Beobachter zur Zeit $t_2$, der sich dann bei $\vec{r}_o(t_2)$ befindet. Der Schall bewegt sich von $\vec{r}_s(t_0+T)$ zu $\vec{r}_o(t_2)$ in der Zeit $t_2 -t_0 -T= |\vec{r}_o(t_2) - \vec{r}_s(t_0+T)|/c$. Die Frequenz beim Beobachter ist $f_o=1/(t_2-t_1)$. Die Gleichungen für den Dopplereffekt können so zusammengefaßt werden:
Zu jeder Zeit $t_1$ wird die nichtlineare Gleichung \[\begin{equation} \sqrt{(r_{ox}(t_1)-r_{sx}(t_0))^2+(r_{oy}(t_1)-r_{sy}(t_0))^2+(r_{oz}(t_1)-r_{sz}(t_0))^2}=c(t_1 -t_0), \end{equation}\]für ein gegebenes $t_0$ gelöst. Dazu wird der Algorithmus der binären Suche benutzt. Unter Benutzung des Wertes für $t_0$, wird die Gleichung \[\begin{equation} \sqrt{(r_{ox}(t_2)-r_{sx}(t_0+T))^2+(r_{oy}(t_2)-r_{sy}(t_0+T))^2+(r_{oz}(t_2)-r_{sz}(t_0+T))^2}=c(t_2 -t_0-T), \end{equation}\]mit binärer Suche für $t_2$ gelöst. Die beobachte Frequenz ist $f_o=1/(t_2-t_1)$.
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