Dopplereffekt in 3D

Die Position eines Wellenemitters in drei Dimensionen ist gegeben durch den Vektor $\vec{r}_s(t)$. Diese Quelle emittiert Wellen der Frequenz $f_s$. Diese Wellen laufen mit der Geschwindigkeit $c$ auf einen Beobachter zu. Der Positionsvektor des Beobachters ist $\vec{r}_o(t)$. Aufgrund der Relativbewegung zwischen Emitter und Beobachter nimmt der Beobachter eine Frequenz $f_o$ wahr, die von $f_s$ verschieden sein kann.

Ein Wellenberg verlässt die Quelle bei $t_0$, bei der die Quelle sich an $\vec{r}_s(t_0)$ befindet. Dieser Wellenberg erreicht den Beobachter zur Zeit $t_1$, der sich an $\vec{r}_o(t_1)$ befindet. Der Schall bewegt sich von $\vec{r}_s(t_0)$ nach $\vec{r}_o(t_1)$ in der Zeit $t_1 -t_0 = |\vec{r}_o(t_1) - \vec{r}_s(t_0)|/c$.

Der nächste Wellenberg verlässt die Quelle bei $t_0+T$, die sich an $\vec{r}_s(t_0+T)$ befindet. Dabei ist $T$ die Periodendauer, $T=1/f_s$. Dieser Wellenberg erreicht den Beobachter zur Zeit $t_2$, der sich dann bei $\vec{r}_o(t_2)$ befindet. Der Schall bewegt sich von $\vec{r}_s(t_0+T)$ zu $\vec{r}_o(t_2)$ in der Zeit $t_2 -t_0 -T= |\vec{r}_o(t_2) - \vec{r}_s(t_0+T)|/c$. Die Frequenz beim Beobachter ist $f_o=1/(t_2-t_1)$.

Die Gleichungen für den Dopplereffekt können so zusammengefaßt werden:

 

$\large |\vec{r}_o(t_1) - \vec{r}_s(t_0)|=c(t_1 -t_0)$,

$\large |\vec{r}_o(t_2) - \vec{r}_s(t_0+T)|=c(t_2-t_0-T)$,

$\large f_o=\frac{1}{t_2-t_1}$.

 

$f_o$

$t$

$\vec{r}_s(t)=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [m].

$\vec{r}_o(t)=$ $\hat{x} +$ $\hat{y} +$ $\hat{z}$ [m].

$f_s=$  [Hz] $c=$  [m/s]

$f_o$ from $t=$  to $t=$ .

Zur Zeit $t=$  s, hört man eine Frequenz von  Hz.

Zur Zeit $t=$  s, hört man eine Frequenz von  Hz.

$|\vec{r}_s-\vec{r_o}|$

$t$

$\large \frac{d|\vec{r}_s-\vec{r_o}|}{dt}$

$t$

Zu jeder Zeit $t_1$ wird die nichtlineare Gleichung

\[\begin{equation} \sqrt{(r_{ox}(t_1)-r_{sx}(t_0))^2+(r_{oy}(t_1)-r_{sy}(t_0))^2+(r_{oz}(t_1)-r_{sz}(t_0))^2}=c(t_1 -t_0), \end{equation}\]

für ein gegebenes $t_0$ gelöst. Dazu wird der Algorithmus der binären Suche benutzt. Unter Benutzung des Wertes für $t_0$, wird die Gleichung

\[\begin{equation} \sqrt{(r_{ox}(t_2)-r_{sx}(t_0+T))^2+(r_{oy}(t_2)-r_{sy}(t_0+T))^2+(r_{oz}(t_2)-r_{sz}(t_0+T))^2}=c(t_2 -t_0-T), \end{equation}\]

mit binärer Suche für $t_2$ gelöst. Die beobachte Frequenz ist $f_o=1/(t_2-t_1)$.

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