Intensität Doppelspaltinterferenz

Zwei Spalten emittieren Kreiswellen am linken Rand der Simulation. Die Spalten sind im Abstand $d$ voneinander entfernt. Die Intensität wird auf einem Schirm am rechten Ende der Simulation gemessen, dieser ist im Abstand $L$ von den zwei Spalten entfernt. Die Intensität wird geplottet als $I/I_0$, wobei $I-0$ die maximale Intensität ist, welche bei $y=0$ auftritt. Die Wellenzahl $k$ ist zusammenhängend mit der Wellenlänge $\lambda$, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$.

Im Intensitätsmuster sieht man einen roten Punkt. Die Koordinaten dieses Punktes sind $P_x$ und $P_y$. Links vom Intensitätsmuster sieht man die Darstellung der harmonischen Oszillation an der Position des roten Punktes in der komplexen Zahlenebene. Der blaue und der grüne Phasor stellen die harmonische Bewegung dar, ausgelöst durch die von den Spalten kommenden Wellen. Spalt 1 wird durch den grünen Punkt angezeigt und Spalt 2 durch den blauen. Der rote Phasor ist die Summe des blauen und des grünen Phasors. Der Realteil des roten Phasors ist die Bewegung, die beim roten Punkt beobachtet wird.

Die jeweiligen Abstände von den beiden Quellen zu einem Punkt der Höhe $y$ auf den Schirm lauten:

$r_1 = \sqrt{L^2+(y-d/2)^2},$

$r_2 = \sqrt{L^2+(y+d/2)^2}.$

Die Wellen verlassen die Spalten mit der gleichen Amplitude $A$ und der gleichen Phase (die wir Null wählen). Die Wellen interferieren am Schirm. Die Amplitude der Wellen am Schirm ist:

$\frac{A}{\sqrt{r_1}} \exp (ikr_1)+\frac{A}{\sqrt{r_2}} \exp (ikr_2).$

Die Intensität ist das Quadrat der Amplitude,

$ I \propto \left(\frac{A}{\sqrt{r_1}} \cos(kr_1)+\frac{A}{\sqrt{r_2}} \cos(kr_2)\right)^2+\left(\frac{A}{\sqrt{r_1}} \sin(kr_1)+\frac{A}{\sqrt{r_2}} \sin(kr_2 )\right)^2.$

Dies ist das exakte Resultat für das Interferenzmuster. Mit einer Näherung kann es jedoch in einer einfacheren Form geschrieben werden. Für $y < < L$, $A/\sqrt{r_1} \approx A/\sqrt{r_2} \approx A/\sqrt{L}$. Unter Benutzung der trigonometrischen Beziehungen $\sin a+\sin b=2\sin ((a+b)/2)\cos ((a-b)/2)$ und $\cos a+\cos b=2\cos ((a+b)/2)\cos ((a-b)/2)$

$\large I \propto \frac{4A^2}{L} \left(\sin^2((kr_1+kr_2)/2)+\cos^2((kr_1+kr_2)/2)\right)\cos^2((kr_1-kr_2)/2).$

$\large I \propto \frac{4A^2}{L} \cos^2\left( \frac{kr_1-kr_2}{2}\right).$

$\large I \propto \frac{4A^2}{L} \cos^2\left( \frac{kdy}{2L}\right).$

Fernfeld

Im Fernfeld, d.h. wenn $L > > \lambda$ und $L > > y$, entsteht konstruktive Interferenz für $n\lambda=yd/L$ mit ganzzahligem $n$. Destruktive Interferenz wird für $(n+1/2)\lambda=yd/L$ beobachtet.