Potentielle Energie

Eine Kraft nennt man konservativ, wenn die Arbeit, die diese Kraft leistet, nicht von der Bahnkurve zwischen $\vec{r}_1$ und $\vec{r}_2$ abhängt. Die Gravitationskraft, die Coulombkraft, die Federkraft und die Lorentzkraft sind konservative Kräfte. Die Reibungskraft ist keine konservative Kraft. Für jede konservative Kraft kann eine potentielle Energie gefunden werden, beginnend mit der Festlegung einer Referenzposition $\vec{r}_0$. Anschließend ist die potentielle Energie bei $\vec{r}$ gleich minus der Arbeit, die die konservative Kraft leistet, wenn ein Objekt von $\vec{r}_0$ nach $\vec{r}$ bewegt wird. Die potentielle Energie hängt von der Referenzposition ab. Wenn eine neue Referenzposition $\vec{r}_0'$ gewählt wird, ändert sich die potentielle Energie um eine Konstante gleich minus der Arbeit, die die konservative Kraft leistet, um ein Objekt von $\vec{r}_0$ nach $\vec{r}_0'$ zu bewegen.

Gravitationskraft:
Betrachten wir eine Masse $m_1$, die bei $\vec{r}=0$ liegt. Die benötigte Arbeit, um die Masse $m_2$ von $\vec{r}_0$ nach $\vec{r}$ in das Gravitationsfeld von $m_1$ zu bewegen, ist,

$$W = \int\limits_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} -\frac{Gm_1m_2}{|\vec{r'}|^2}\hat{r}\cdot d\vec{r'}.$$

Da die Gravitationskraft eine konservative Kraft ist können wir den Weg, um die Masse $m_2$ von $\vec{r}_0$ nach $\vec{r}$ zu bringen, frei wählen. Zuerst bewegen wir die Masse $m_2$ entlang der Oberfläche einer Kugelschale mit dem Radius $|\vec{r}_0|$. Da die Kraft in die radiale Richtung zeigt und die Bewegung entlang der Oberfläche senkrecht zur radialen Richtung ist, wird keine Arbeit verrichtet. Die Masse $m_2$ wird bewegt, bis sie auf der Linie zwischen $\vec{r}=0$ und dem Punkt für den wir uns interessieren $\vec{r}$ liegt. Der Ausdruck für die Arbeit wird nun zu einem ein-dimensionalen Integral,

$$W = \int\limits_{r_0}^{r} \frac{Gm_1m_2}{r'^2}dr'= Gm_1m_2\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0}\right),$$

wobei $r_0 = |\vec{r}_0|$ und $r = |\vec{r}|$. Es ist einfacher einen Referenzpunkt $\vec{r}_0$ weit weg vom Ursprung zu wählen, sodass der $\frac{1}{r_0}$ Term vernachlässigt werden kann.

$$E_{pot} = - W = -\frac{Gm_1m_2}{r}\hspace{1cm}\text{[J]}.$$

In der Nähe der Erdoberfläche ist die Kraft auf eine Gewichtsmasse $m$ [kg] gleich $-\frac{Gmm_{\text{earth}}}{r_{\text{earth}}}\approx -9.81 m$. Die Änderung der potentiellen Energie des Gewichtes ist, wenn es sich in einer Höhe $h$ [m] über der Erdoberfläche befindet, $\Delta E_{pot}=mgh$ [J], wobei $g=$ 9.81 [m/s²] die Gravitationsbeschleunigung auf der Erdoberfläche ist.

Coulombkraft:
Die Coulombkraft zwischen zwei Ladungen $q_1$ und $q_2$ hat eine ähnliche Form wie die Gravitationskraft.

$$\vec{F}_{\text{Coulomb}} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 |\vec{r}_1-\vec{r}_2 |^2}\hat{r}_{2\rightarrow 1} \hspace{1cm}\text{[N]}.$$

Die Coulombkraft ist also eine konservative Kraft, und die dazugehörige potentielle Energie ist,

$$E_{pot} = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 r} \hspace{1cm}\text{[J]}.$$

Lineare Federkraft:
Eine lineare Feder übt eine konservative Kraft aus, die proportional zur Verlagerung der Feder aus der Gleichgewichtsposition $x=0$ ist. Die Kraft ist $F = -kx$, wobei $k$ die Federkonstante ist. Durch Integration findet man die Arbeit die verrichtet wird. Die potentielle Energie ist,

$$E_{pot} = \frac{kx^2}{2} \hspace{1cm}\text{[J]}.$$

Lorentzkraft:
Das Magnetfeld übt eine Kraft auf ein geladenes Teilchen aus, die normal zur Bewegungsrichtung steht. Deshalb ist $\vec{F}_{\text{magnetic}}\cdot d\vec{r}=0$ und die magnetische Kraft ändert nicht die potentielle Energie des Teilchens. Die Kraft durch das elektrische Feld ist eine konservative Kraft und die potentielle Energie ist gegeben durch:

$$\Delta E_{pot} = -q \vec{E}\cdot (\vec{r}-\vec{r}_0) \hspace{1cm}\text{[J]}.$$

Reibungskraft:
Da die Reibungskraft von der Geschwindigkeit $\vec{v}$ des Körpers abhängt und diese in die entgegengesetzte Richtung zeigt, handelt es sich um keine konservative Kraft und es lässt sich keine potentielle Energie definieren.

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