 | Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805 |
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Verrichtete Arbeit entlang einer TrajektorieManchmal möchte man die Arbeit berechnen, die ein Teilchen für eine bestimmte Bahnkurve benötigt, $$\vec{r}(t) = r_x(t)\hat{x}+ r_y(t)\hat{y}+ r_z(t)\hat{z}.$$Ausgehend vom Positionsvektor kann der Geschwindigkeitsvektor berechnet werden, $$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dr_x}{dt}\hat{x}+ \frac{dr_y}{dt}\hat{y}+ \frac{dr_z}{dt}\hat{z}.$$Die Kraft, die auf dieses Teilchen wirkt, kann mehrere Beiträge haben. Zum Beispiel wirken elektrische Kräfte, Gravitationskräfte und Reibungskräfte zusammen. Für gewöhnlich können diese Kräfte Funktionen von Ort, Geschwindigkeit und Zeit sein, $\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t)$. Beispielsweise ist die Reibungskraft eine Funktion der Geschwindigkeit und die Gravitationskraft eine Funktion des Ortes. Wenn die Bahnkurve bekannt ist, dann können Ort und Geschwindigkeit als Funktion der Zeit und die Kraft nur als Funktion der Zeit ausgedrückt werden. Die Arbeit ist, \begin{equation} W = \int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}(t)\cdot d\vec{r}\hspace{1cm}\text{[J]}. \end{equation}Es bietet sich an $d\vec{r} = \vec{v}dt$ zu schreiben. Dann ist das Integral für die Arbeit, $$W = \int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)dt\hspace{1cm}\text{[J]}.$$ $$W = \int\limits_{t_1}^{t_2}\left( F_x(t)v_x(t) + F_y(t)v_y(t) + F_z(t)v_z(t)\right)dt\hspace{1cm}\text{[J]}.$$Beispiel 1 Ein Teilchen bewegt sich in einer viskosen Flüssigkeit auf der Bahn eines Hypozykloiden, $$\vec{r} = \left(5\cos (t) + \cos(5t) \right)\hat{x} + \left(5\sin (t) + \sin (5t) \right)\hat{y}.$$
Die Reibungskraft auf dieses Teilchen ist in die entgegengesetzte Richtung der Geschwindigkeit gerichtet, $\vec{F}_{\text{drag}}= -0.1\vec{v}$ [N]. Um die Arbeit zu berechnen, muss erst der Geschwindigkeitsvektor berechnet werden, $$\vec{v} = \left(-5\sin (t) - 5\sin(5t) \right)\hat{x} + \left(5\cos (t) + 5\cos (5t) \right)\hat{y}.$$Die Kraft, die das Teilchen bewegt, ist entgegen der Reibungskraft gerichtet, $\vec{F}=-\vec{F}_{\text{drag}}= 0.1\vec{v}$. Die Arbeit ist, $$W = \int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\cdot \vec{v}(t)dt = 0.1 \int\limits_{t_1}^{t_2}\left(\left(-5\cos (t) - 5\cos(5t) \right)^2 + \left(5\sin (t) + \sin (5t) \right)^2\right) dt. $$Es ist möglich dieses Integral zu berechnen, allerdings ist das sehr viel Arbeit und anfällig für Fehler. Es gibt drei Möglichkeiten die Lösung zu finden: Integrieren mit Stift und Papier, ein symbolisches Integrationsprogramm wie Wolfram Alpha verwenden, oder numerische Integration. Am Besten wäre es, zumindest zwei dieser Methoden zu verwenden und das Ergebnis zu vergleichen. Wolfram Alpha gibt die Lösung, $$W = \left. 0.1 \frac{25}{2}\left(4t +\sin(4t)\right)\right|_{t_1}^{t_2}$$Für $t_1 = 0$ und $t_2 = 3$, $W = 14.329$ [J]. Die folgende App integriert eine Gleichung der Form $\vec{F}\cdot\vec{v} = F_xv_x+F_yv_y+F_zv_z$ numerisch. Diese numerische Integration ergibt ebenfalls $W = 14.329$ [J].
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