 | Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805 |
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Arbeit und EnergieArbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft $\vec{F}$ aufgebracht wird, um ein Teilchen von $\vec{r}_1$ nach $\vec{r}_2$ zu bringen. Wenn die Kraft konstant ist, ist die Arbeit, $$W = \vec{F}\cdot\left(\vec{r}_2-\vec{r}_1\right)=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.$$Die Einheit der Arbeit ist Joule, J = Nm. Dies ist die Einheit der Energie. Oft ändern sich die Kräfte, wenn ein Teilchen bewegt wird. Dann schreibt man die Arbeit als Integral, \[ \begin{equation} W = \int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}\hspace{1cm}\text{[J]}. \end{equation} \]Das Integral kann als eine Summe vieler kleiner Verschiebungen $d\vec{r}$ gesehen werden. Für jede kleine Verschiebung ist die Kraft quasi konstant, also ist die verrichtete Arbeit $dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}= F_xdx + F_ydy + F_zdz$. Der Ausdruck für die Arbeit kann in seine drei Komponenten aufgeteilt werden, \[ \begin{equation} W = \int\limits_{x_1}^{x_2}F_x dx + \int\limits_{y_1}^{y_2}F_y dy+\int\limits_{z_1}^{z_2}F_z dz\hspace{1cm}\text{[J]}. \end{equation} \]Beispiel 1 Stellen Sie sich eine lineare Feder vor. Die Kraft, die gebraucht wird, um eine lineare Feder zusammenzudrücken, hängt davon ab, wie weit sie bereits zusammengedrückt wurde $F = kx$. Die benötigte Arbeit um die Feder von $x=0$ nach $x=x_1$ zu komprimieren ist, $$W = \int\limits_0^{x_1} kxdx= \frac{kx_1^2}{2}.$$Die Bewegung ist eine reine Bewegung in $x$-Richtung, daher sind die Integrale nach $y$ und $z$ gleich Null. Beispiel 2 Die Kraft, um eine bestimmte nichtlineare Feder zusammenzudrücken, ist $F = kx^3$. Die Arbeit, um eine Feder von $x=0$ bis $x=x_1$ zusammenzudrücken, ist, $$W = \int\limits_{0}^{x_1} kx^3 dx= \frac{kx_1^4}{4}.$$Beispiel 3 Die Kraft um ein Teilchen mit der Ladung $q$ in einem elektrischen Feld zu bewegen ist $\vec{E}$ is $\vec{F} = -q\vec{E}$. Die Arbeit die benötigt wird um dieses Teilchen von $x=0$ nach $x=x_1$ zu bringen ist, $$W = \int\limits_{0}^{x_1} -qE_x dx= -qE_xx_1.$$Das nachfolgende Feld integriert eine Kraft in einer Dimension. Das Programm kann nacheinander für die Berechnung der Bewegung in jede Richtung $x$, $y$ und $z$ verwendet werden.
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