Intensität interferierender Oberflächenwellen

Zwei Punktquellen emittieren Oberflächenwellen, welche miteinander interferieren. Die Amplituden der von den Quellen emittierten Wellen sind gegeben durch:

$z_1 = A_1\cos (k|\vec{r}-\vec{r}_1|-\omega t +\phi_1)/\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_1|}$ cm

$z_2 = A_2\cos (k|\vec{r}-\vec{r}_2|-\omega t +\phi_2)/\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_2|}$ cm

Hier ist $|\vec{r}-\vec{r}_1|$ der Abstand zwischen Quelle 1 und $|\vec{r}-\vec{r}_2|$ der Abstand von Quelle 2. Die Wellenzahl $k$ hängt mit der Wellenlänge zusammen $\lambda$, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ und die Kreisfrequenz $\omega$ mit der Periodendauer $T$, $\omega=\frac{2\pi}{T}$.

Fokussieren Sie auf einen Punkt, führt es eine einfache harmonische Bewegung mit einer gewissen Amplitude aus. Die einfache harmonische Bewegung ist der Realteil der Kreisbewegung in der komplexen Ebene. Die Oszillationen lauten mit komplexen Zahlen ausgedrückt:

$ \large \frac{A_1}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_1|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_1|-\omega t +\phi_1)}+\frac{A_2}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_2|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_2| -\omega t+\phi_2)} = \left( \frac{A_1}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_1|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_1|+\phi_1)}+\frac{A_2}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_2|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_2| +\phi_2)}\right)e^{-i\omega t}.$

Die rechte Seite der Gleichung beschreibt einen Phasor welcher sich auf einer Kreisbahn in der komplexen Ebene mit einer Amplitude bewegt

$\large A= \frac{A_1}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_1|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_1|+\phi_1)}+\frac{A_2}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_2|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_2| +\phi_2)}.$

Die Intensität ist das Quadrat der Amplitude:

Das folgende Formular stellt die Intensität der Wellen als Funktion der Position graphisch dar.

Der rote Punkt im Intensitätsmuster zeigt die Koordinaten $P_x$ und $P_y$ dieses Punktes. Auf der linken Seite des Intensitätsmusters sind die harmonischen Schwingungen am roten Punkt in der komplexen Ebene dargestellt. Der blaue und der grüne Phasor stellen die harmonischen Bewegungen dar, die durch die von den zwei Quellen emittierten Wellen am roten Punkt verursacht werden. Im Intensitätsmuster ist das Zentrum des ersten Wellenemitters ist mit einem grünen Punkt und dass des zweiten Wellenemitters mit einem blauen Punkt dargestellt. Der rote Phasor ist die Summe des blauen und des grünen Phasors. Der Realteil des roten Phasors entspricht der Bewegung, welche am roten Punkt beobachtet wird.