Numerische Integration und Differentiation

Diese Seite enthält einige Funktionen zur numerischen Integration und Differentiation. Ein Funktion $f(x)$ kann spezifiziert werden durch (i) Eingabe eines Ausdrucks in das obige Feld oder durch (ii) Einfügen zweier Datenspalten in die Textbox oben links.
Bei Click auf den "Calculate from formula" Button wird der eingegebene Ausdruck benutzt, um die Tabelle mit 1000 Werten $f(x)$ für äquidistante Argumente zwischen $x_1$ and $x_2$ zu befüllen.
Bei Click auf den "calculate from table" Button werden die Daten in einem Graph dargestellt (rechts).
Unter den Werten und dem Graphen von $f(x)$ werden die Werte der ersten, $\frac{df}{dx}$, und der zweiten Ableitung $\frac{d^2f}{dx^2}$ tabulliert und graphisch dargestellt. Unterhalb der Ableitungen wird das Integral von $f(x)$ sowie das Integral letzteren Integrals gezeigt. Die Routine zur Integration geht davon aus, daß die Meßdaten im Intervall $\Delta x$ äquidistant sind.

$f(x)=$ 
in the range from $x_1=$  to $x_2=$ .

 $x$   $f(x)$

 

  

$f(x)$

$x$

Die Ableitung
Die Ableitung von $f(x)$ wird berechnet aus

$\Large \frac{df}{dx}\approx \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$

 $x$   $\large \frac{df}{dx}$

  

$\large \frac{df}{dx}$

$x$

Die zweite Ableitung
Die zweite Ableitung von $f(x)$ wird errechnet aus

$\Large \frac{d^2f}{dx^2}\approx \frac{\frac{df}{dx}(x+\Delta x)-\frac{df}{dx}(x)}{\Delta x}.$

 $x$   $\large \frac{d^2f}{dx^2}$

  

$\large \frac{d^2f}{dx^2}$

$x$

Das Integral von $f(x)$

$\large I_1(x)=\int\limits_{x_1}^{x} f(x')dx' +I_1(x_1)$.

wobei $I_1(x_1)$ die Integrationskonstante ist.

$I_1(x_1)=$

Das Integral von $f(x)$ wurde numerisch mit einer Methode namens Simpson-Regel ermittelt.

$\large \int \limits_a^b f(x) dx \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right).$

 $x$   $I_1(x)$

  

$I_1(x)$

$x$

Das Integral des Integrals von $f(x)$
Die Simpson-Regel wurde ein zweites Mal benutzt, um das Integral des Integrals von $f(x)$ zu berechnen.

$\large I_2(x) = \int \limits_{x_1}^{x} I_1(x')dx' + I_2(x_1).$

$I_2(x_1)=$

 $x$   $I_2(x)$

  

$I_2(x)$

$x$

Wenn die vorhanden Datenpunkte nicht mit gleichen Abständen in $x$ verteilt sind, dann können Sie entweder lineare Interpolation oder kubische Splines verwenden, um Datenpunkte zu erzeugen, die mit gleichen Abständen verteilt sind.

Fragen