Endgeschwindigkeit - Fall mit einer linearen Reibungskraft

Die Gesamtkraft auf ein Teilchen, welches senkrecht unter dem Einfluss der Gravitationskraft fällt und dabei eine lineare Reibungskraft erfährt, ist:

$$F_z=-mg-bv_z,$$

wobei $m$ die Masse, $g=9.81$ m/s² und $b$ der Reibungskoeffizient ist.

$z$

$t$

 $$z=z_0-\frac{mg}{b}t-\frac{m}{b}\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right)+\frac{m}{b}\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)$$ $$v_z=-\frac{mg}{b}+\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right)$$ $$a_z=-\frac{b}{m}\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right)$$ $$F_z=-b\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right)$$

$\frac{m}{b}=$ 1 [N]

$v_{z0}=$ 4 [N]

Man betrachte ein Teilchen, welches sich ausschliesslich entlang der $z$-Achse unter dem Einfluss der Gravitationskraft bewegt und dabei eine lineare Reibungskraft der Form $F_{\text{drag}}=-bv_z$ erfährt. Das Teilchen beschleunigt nach unten, bis die nach unten gerichtete Gravitationskraft von der aufwärts gerichteten Reibungskraft ausgeglichen wird. Gleichen sich die Kräfte aus, dann ist die Gesamtkraft Null und das Teilchen wird sich mit konstanter Endgeschwindigkeit $v_{\text{term}}=-mg/b$ weiter nach unten bewegen.

Die Gesamtkraft auf das Teilchen ist $F_z=-mg-bv_z$. Die Beschleunigung lautet

$$a_z=-g-bv_z/m.$$

Dies kann als Differentialgleichung für die Geschwindigkeit ausgedrückt werden:

$$\frac{dv_z}{dt}=-g-bv_z/m.$$

Diese Differentialgleichung kann numerisch gelöst werden, aber man kann deren Lösung auch analytisch bestimmen. Die Lösung der Differentialgleichung ist

$$v_z=-\frac{mg}{b}+\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right),$$

wobei $v_{z0}$ die vertikale Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$ ist. An $t=0$ ist der Exponentialfaktor 1 und die Geschwindigkeit ist $v_{z0}$. Für Zeiten $t >> m/b$ strebt der Exponentialfaktor zu Null und die Geschwindigkeit wird $-mg/b$.

Der Ort kann durch einfache Integration der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit bestimmt werden:

$$z=z_0-\frac{mg}{b}t-\frac{m}{b}\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right)+\frac{m}{b}\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right).$$

Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit bezüglich der Zeit:

$$a_z=-\frac{b}{m}\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right).$$

Die Kraft ist proportional zur Beschleunigung

$$F_z=-b\left(v_{z0}+\frac{mg}{b}\right)\exp\left(-\frac{b}{m}t\right).$$