Schwingungen

Schwingungen werden typischerweise mit Differentialgleichungen beschrieben. Im Abschnitt über Bewegung haben wir die Differentialgleichungen mit einem numerischen Löser gelöst. Angesichts der Anfangsbedingungen fand der Löser die Lösungen, indem er kleine Zeitschritte vorwärts machte. Wir werden in diesem Abschnitt weiterhin numerische Löser verwenden, aber manchmal ist es möglich, analytische Lösungen für eine Differentialgleichung zu finden. In diesen Fällen können Sie eine Formel für den Ort und die Geschwindigkeit eines Teilchens aufschreiben, das eine Schwingung ausführt. Wir werden auch erzwungene Oszillatoren untersuchen und die mathematischen Details einer Resonanz beschreiben.

Die einfache harmonische Bewegung ist bereits im Bewegungsabschnitt diskutiert worden. Die folgende Differentialgleichung beschreibt die harmonische Bewegung:

Hier beschreibt $m$ [kg] die Masse und $k$ [N/m] die Federkonstante. Der Ausdruck ist lediglich eine Umschreibung des zweiten Newtonschen Gesetzes: Masse mal Beschleunigung ergibt die Federkraft. Wird eine dämpfende Kraft hinzugefügt, verändert sich die Differentialgleichung folgendermaßen:

Hier beschreibt $b$ [N s/m] die Dämpfungskonstante - die dämpfende Kraft ist proportional der Geschwindigkeit. Der Lösungstyp ist abhängig davon, wie groß die Dämpfungskonstante $b$ ist. Die Dämpfung verringert die Oszillationsfrequenz bis zur kritischen Dämpfung, bei welcher keine Oszillationen mehr vortreten und nur mehr exponentielle Dämpfung stattfindet (im Gegensatz zur linearen). Es können die folgenden vier Fälle auftreten:

• $b = 0$: ungedämpfter Oszillator, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ rad/s. $$x(t) = x_0\cos (\omega t) +\frac{v_{x0}}{\omega}\sin (\omega t).$$
• $4mk - b^2 > 0$: Schwingfall, $\omega=\frac{\sqrt{4mk-b^2}}{2m}$ rad/s, $\tau=\frac{2m}{b}$ s. $$x(t) = \exp \left(-t/\tau\right)\left(x_0\cos (\omega t) + \left(\frac{v_{x0}}{\omega}+\frac{x_0}{\omega\tau}\right)\sin(\omega t)\right).$$
• $4mk - b^2 = 0$: kritische Dämpfung (auch aperiodischer Grenzfall genannt), $\tau=\frac{2m}{b}$ s. $$x(t) = x_0 \exp \left(-t/\tau\right)+\left(v_{x0} + \frac{x_0}{\tau}\right)t \exp \left(-t/\tau\right).$$
• $4mk - b^2 < 0$: überdämpfter Oszillator (auch Kriechfall genannt), $\tau_1=\frac{2m}{b-\sqrt{b^2-4km}}$ s, $\tau_2=\frac{2m}{b+\sqrt{b^2-4km}}$ s. $$x(t) = \frac{v_{x0}\tau_1\tau_2 + x_0\tau_1}{\tau_1-\tau_2} \exp \left(-t/\tau_1\right)- \frac{v_{x0}\tau_1\tau_2 + x_0\tau_2}{\tau_1-\tau_2}\exp \left(-t/\tau_2\right).$$

Dabei ist $x_0$ die Position bei $t=0$ und $v_{x0}$ die Geschwindigkeit bei $t=0$.