Intensität vieler interferierender Punktquellen

Oberflächenwellen, die von $N$ Punktquellen erzeugt werden, haben die Form

$\large z = \sum\limits_{j=1}^N \frac{A}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}}\cos (k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t )$ cm

Hier ist $|\vec{r}-\vec{r}_j|$ der Abstand von der Quelle $j$. Die Wellenzahl $k$ hängt mit der Wellenlänge $\lambda$ gemäß $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ zusammen und die Winkelfrequenz $\omega$ mit der Periodendauer $T$ durch $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Betrachten Sie den Fall in dem die Punktquellen gleichmäßig im Interval $a$ angeordnet sind, welche links im Bild mit kleinen roten Punkten angedeutet sind.

Wenn Sie einen Punkt herausgreifen, sehen Sie wie eine einfache harmonische Bewegung mit einer gewissen Amplitude ausgeführt wird. Die einfache harmonische Bewegung ist der Realteil der Kreisbewegung in der komplexen Ebene. Ausgedrückt in komplexer Form lauten die Oszillationen:

$ \large \sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j|-\omega t +\phi_j)} = \left( \sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j| +\phi_j)}\right)e^{-i\omega t}.$

Die rechte Seite dieser Gleichung beschreibt einen Phasor, der sich auf einem Kreis in der komplexen Ebene mit einer Amplitude $A$ bewegt:

$\large A= \sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{r_j} e^{ i(k|\vec{r}-\vec{r}_j| +\phi_j)}.$

Die Intensität ist das Quadrat der Amplitude,

$\large I \propto A^*A = \left(\sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} \cos(k|\vec{r}-\vec{r}_j|+\phi_j)\right)^2+\left(\sum \limits_{j=1}^N \frac{A_j}{\sqrt{|\vec{r}-\vec{r}_j|}} \sin(k|\vec{r}-\vec{r}_j|+\phi_j)\right)^2.$

Das folgende Formular stellt der Logarithmus der Intensität der Wellen als Funktion der Position dar.

There is a red point on the intensity pattern. The coordinates of this point are $P_x$ and $P_y$. To the left of the intensity pattern is a representation in the complex plane of the harmonic oscillations at the red point. The blue phasors represent the harmonic motion caused by the waves traveling from the sources. The red phasor is the sum of the blue phasors. The real part of the red phasor is the motion observed at the red point.