Numerische Lösungen von Differentialgleichungen in drei Dimensionen

Ein Objekt, das sich in drei Dimensionen bewegt, wird durch sechs Variablen beschrieben: $x$, $y$, $z$, $v_x$, $v_y$ und $v_z$. Wenn die Kraft auf das Objekt bekannt ist, dann kann die Bewegung durch sechs Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben werden,

$\large \frac{dx}{dt}=v_x$ $\large \frac{dv_x}{dt}=F_x(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$

$\large \frac{dy}{dt}=v_y$ $\large \frac{dv_y}{dt}=F_y(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$

$\large \frac{dz}{dt}=v_z$ $\large \frac{dv_z}{dt}=F_z(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$

Diese Gleichungen können Schritt für Schritt numerisch gelöst werden. Bei bekannten Anfangsbedingungen für $\vec{x}(t_0)$ und $\vec{v}(t_0)$ ergibt sich als Näherung, für $\vec{x}$ und $\vec{v}$ kurze Zeit $\Delta t$ später,

$\large \vec{x}(t_0+\Delta t) \approx \frac{d\vec{v}}{dt}|_{t_0}\Delta t$ and $\large \vec{v}(t_0+\Delta t) \approx \vec{F}(x(t_0),v_x(t_0),t_0)\Delta t/m.$

Sobald eine Näherung für die Position und die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt $t_0 + \Delta t$ berechnet ist, kann die Näherung der Position und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0 + 2\Delta t$ berechnet werden. Durch wiederholen dieses Schrittes kann eine Tabelle mit Zeiten $(t)$, Positionen $(x,y,z)$, der Geschwindigkeit $(v_x,v_y,v_z)$ und der Kräfte $(F_x,F_y,F_z)$ erstellt werden. Andere Größen wie die kinetische Energie, die geleistete Arbeit und die Momentanleistung können berechnet werden. Die kinetische Energie beträgt $E_{\text{kin}}=\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{2m}$ [J]. Wenn eine Kraft ein Teilchen um eine Strecke $d\vec{r}$ bewegt, führt sie ein kleinen Teil $dW=\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$ [J] Arbeit aus. Diese Arbeit wird in einer Zeit $dt$ ausgeführt. Die dafür benötigte Leistung beträgt $P=dW/dt=\vec{F}\cdot\vec{v}$ [W].

In nachfolgenden Programm sind $F_x$, $F_y$ und $F_z$ die drei Komponenten der Kraft, $m$ die Masse und $t$ die Zeit. Ausgehend von den Anfangsbedingungen werden die Gleichungen für eine Gesamtzahl von $N_{Schritte}$ Schritten mit einer Schrittweite von $\Delta t$ integriert. Die Kraft kann in Abhängigkeit von den Positionen $x$, $y$, $z$, den Geschwindigkeiten $v_x$, $v_y$, $v_z$ und der Zeit $t$ angegeben werden.

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$t$ [s] $x$ [m] $y$ [m] $z$ [m] $v_x$ [m/s] $v_y$ [m/s] $v_z$ [m/s] $F_x$ [N] $F_y$ [N] $F_z$ [N] $P$ [W] $E_{\text{kin}}$ [J] $W$ [J]

Fragen

<p>Ein Objekt, das sich in drei Dimensionen bewegt, wird durch sechs Variablen beschrieben: $x$, $y$, $z$, $v_x$, $v_y$ und $v_z$. Wenn die Kraft auf das Objekt bekannt ist, dann kann die Bewegung durch sechs Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben werden,</p>

<p style="text-align:center">$\large \frac{dx}{dt}=v_x$   $\large \frac{dv_x}{dt}=F_x(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$</p>
<p style="text-align:center">$\large \frac{dy}{dt}=v_y$   $\large \frac{dv_y}{dt}=F_y(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$</p>
<p style="text-align:center">$\large \frac{dz}{dt}=v_z$   $\large \frac{dv_z}{dt}=F_z(x,y,z,v_x,v_y,v_z,t)/m$</p>

<p>Diese Gleichungen können Schritt für Schritt numerisch gelöst werden. Bei bekannten Anfangsbedingungen für $\vec{x}(t_0)$ und $\vec{v}(t_0)$ ergibt sich als Näherung, für $\vec{x}$ und $\vec{v}$ kurze Zeit $\Delta t$ später,</p>

<p style="text-align:center">$\large \vec{x}(t_0+\Delta t) \approx \frac{d\vec{v}}{dt}|_{t_0}\Delta t$ and $\large \vec{v}(t_0+\Delta t) \approx \vec{F}(x(t_0),v_x(t_0),t_0)\Delta t/m.$</p>

<p>Sobald eine Näherung für die Position und die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt $t_0 + \Delta t$ berechnet ist, kann die Näherung der Position und der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_0 + 2\Delta t$ berechnet werden. Durch wiederholen dieses Schrittes kann eine Tabelle mit Zeiten $(t)$, Positionen $(x,y,z)$, der Geschwindigkeit $(v_x,v_y,v_z)$ und der Kräfte $(F_x,F_y,F_z)$ erstellt werden. Andere Größen wie die kinetische Energie, die geleistete Arbeit und die Momentanleistung können berechnet werden. Die kinetische Energie beträgt $E_{\text{kin}}=\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{2m}$ [J]. Wenn eine Kraft ein Teilchen um eine Strecke $d\vec{r}$ bewegt, führt sie ein kleinen Teil $dW=\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$ [J]  Arbeit aus. Diese Arbeit wird in einer Zeit $dt$ ausgeführt. Die dafür benötigte Leistung beträgt $P=dW/dt=\vec{F}\cdot\vec{v}$ [W]. </p>

<p>In nachfolgenden Programm  sind $F_x$, $F_y$ und $F_z$ die drei Komponenten der Kraft, $m$ die Masse und $t$ die Zeit. Ausgehend von den Anfangsbedingungen werden die Gleichungen für eine Gesamtzahl von $N_{Schritte}$ Schritten mit einer Schrittweite von $\Delta t$ integriert. Die Kraft kann in Abhängigkeit von den Positionen $x$, $y$, $z$, den Geschwindigkeiten $v_x$, $v_y$, $v_z$ und der Zeit $t$ angegeben werden.</p>

<h3 style="text-align:center">Satelliten Orbits</h3>

<p>Ein Satellit umkreist die Erde. Die Schwerkraft auf den Satelliten ist,</p>

<p style="text-align:center">$\large \vec{F} = -\frac{Gm_e m_s}{r^2} \hat{r}$,</p>

<p>mit $G= 6.6726 \times 10^{-11}$ N m²/kg² der Gravitationskonstanten, $m_e = 5.97219 \times 10^{24}$ kg der Masse der Erde, $m_s$ der Masse des Satellits, und $\vec{r}$ der Position des Satelliten, gemessen vom Mittelpunkt der Erde.</p>

<form name="sat">
<p>Solange die Erde weitaus schwerer ist, als der Satellit, hat die Masse des Satelliten keinen Einfluss. Die Masse des Satelliten taucht im Ausdruck für die Beschleunigung nicht auf. Einzig die Anfangsposition und Geschwindigkeit bestimmen die Bahn des Satelliten.</p>
<p>Die Anfangsbedingungen zur Zeit $t=0$ sind: <br />
$x=$ <input type="text" size="10" value="0" name="x"> m  $y=$ <input type="text" size="10" value="6371000" name="y"> m  $z=$ <input type="text" size="10" value="0" name="z"> m 
$v_x=$ <input type="text" size="10" value="7900" name="vx"> m/s  $v_y=$ <input type="text" size="10" value="0" name="vy"> m/s  $v_z=$ <input type="text" size="10" value="0" name="vz"> m/s  $m_s=$ <input type="text" size="10" value="100" name="mass"> kg</p>

<p>Wenn der Orbit unter 6400000 m fällt, stürzt der Satellit auf die Erde. Es gibt eine Vielzahl an Umlaufbahnen, wie geosynchrone Umlaufbahnen, geostationäre Umlaufbahnen, Satellitenorbits, elliptische Umlaufbahnen, und Friedhofsorbits. Der Unterschied ist nur abhängig von den Anfangsbedingungen des Satelliten. Für die Berechnung der Umlaufbahn des Satelliten sollte ein großer Zeitschritt gewählt werden. </p>

<h3 style="text-align:center">schiefe Ebene</h3>

<p>Ein Block der Masse $m$ wird auf eine schiefe Ebene gestellt, die einen Winkel von $\theta$ Grad zur Horizontalen bildet. </p>

<tr><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$\theta=$ <span id="btext">45</span> °</td><td><input type="button" value="-" onclick="ball.slide_b.value=ball.slide_b.value-1; inclined();"><input type='range' min='0' max='90' step='1' name='slide_b' value='45' onchange='inclined();' oninput='inclined();'/><input type="button" value="+" onclick="ball.slide_b.value=eval(ball.slide_b.value) + 1; inclined ();"></td></tr>

</table>

</form>

<p>Die Gravitationskraft $-mg\hat{y}$ lässt sich in eine Kraft senkrecht zur schiefen Ebene und eine Kraft parallel zur schiefen Ebene zerlegen.</p>

<p>Die Kraft parallel zur Ebene, $|F_{\parallel}|=mg\sin\theta$, lässt den Block entlang der Ebene gleiten. In Bezug auf ihre $x$- und $y$-Komponenten ist die Kraft entlang der Ebene,</p>

<p style='text-align:center'>$\vec{F}_{\parallel} = -mg\sin\theta\cos\theta \hat{x} - mg\sin\theta\sin\theta \hat{y}.$</p>

<p>Dies ist eine konstante Kraft; sie ist unabhängig von der Position, der Geschwindigkeit und der Zeit. Wir erwarten eine parabelförmige Bewegung der Masse und Formeln f&uulm;r den Ortsvektor und den Geschwindigkeitsvektor finden Sie auf der Seite <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/constant_force.de.php">Konstante Kraft = Parabelbewegung</a>. Es ist natürlich auch möglich, diese Kraft und die Anfangsbedingungen in einen numerischen Differentialgleichungslöser zu stellen. Die Kraft und die Masse werden bei jeder Einstellung der Schieberegler in den Differentiallöser unten geladen. Dem Differentialgleichungslöser kann eine Widerstandskraft hinzugefügt werden, indem der Kraft ein Term hinzugefügt wird, der der Geschwindigkeit entgegengesetzt ist. Wenn diese Widerstandskraft linear $\vec{F}_{drag} = -a\vec{v}$ ist, dann ist es möglich <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/apps/rvaf/terminal.de.php">Formeln zur Beschreibung der resultierenden Bewegung zu finden</a>. Wenn die Widerstandskraft jedoch nichtlinear ist, wie z. B. $\vec{F}_{drag} = -a|\vec{v}|\vec{v}$, können keine einfachen Formeln und kein numerischer Differentialgleichungslöser gefunden werden ist die beste Option.</p>

<p style="text-align:center">keine Widerstandskraft: $\vec{F} =  -mg\sin\theta\cos\theta \,\hat{x} - mg\sin\theta\sin\theta \,\hat{y}$<br />
lineare Widerstandskraft: $\vec{F} =  -mg\sin\theta\cos\theta\, \hat{x} - mg\sin\theta\sin\theta \,\hat{y}-a\vec{v}$<br />
nichtlineare Widerstandskraft: $\vec{F} =  -mg\sin\theta\cos\theta \,\hat{x} - mg\sin\theta\sin\theta \,\hat{y}-a|\vec{v}|\vec{v}$</p>

<h3 style="text-align:center">Luftreibung</h3>

<p>Ein Stein der Masse 100 g wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit  $|\vec{v}|$ in einem Winkel $\theta$ von der Horizontalen geworfen. Der Stein wird aus seiner Position $\vec{r}=0$ gelöst. Wenn die Luftreibung vernachlässigt wird, lautet die Gleichung, die die Bewegung des Balls beschreibt, </p>

<p style="text-align:center">$\vec{r} = vt\cos\theta \,\hat{x}+ \left( vt\sin\theta -\frac{gt^2}{2}\right)\,\hat{y}\,\text{m},$</p>

<p>wobei $g = 9,81$ m/s² ist die Erdbeschleunigung und $t$ wird in Sekunden gemessen. Der Stein folgt einer Parabel und kehrt zu der Höhe zurück, aus der er geworfen wurde, $y=0$, in einem Abstand von $x$ von wo er geworfen wurde. Für eine gegebene Anfangsgeschwindigkeit ist der Winkel, der den Abstand $x$ maximiert, $\theta = \frac{\pi}{4}\,\text{rad} = $ 45°. </p>

<p>Bezieht man in das Problem eine lineare Reibungskraft $\vec{F}_{drag} = -b\vec{v}$ ein, so ändert sich der optimale Winkel. Das folgende Form berechnet die Flugbahn des Steins für verschiedene Winkel, Reibungskonstanten und Anfangsgeschwindigkeiten.</p>

<p style="text-align:center">Die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt $t=0$ sind $\vec{r}=0$ <br />

$|\vec{v}| =$ <input type="text" size="10" value="100" name="vball"> m/s  $\theta=$ <input type="text" size="10" value="45" name="theta"> deg
</p>
<p style="text-align:center">
<input type="button" value="Laden Sie diese Werte in das unten stehende Form" onclick="airfriction();">
</p>
</form>

<h3 style="text-align:center">Ein Ball wird in den Wind geworfen</h3>
<p>Ein Ball der Masse $m$ wird geworfen und erfährt einen Reibungswiderstand durch die Bewegung durch ein Gas oder eine Flüssigkeit. Die Kräfte, die auf den Ball wirken sind die Schwerkraft $-mg\hat{z}$ und die Reibungskraft. Weht ein Wind, kann dieser beschrieben werden durch,</p>

<p>mit $a$ und $b$ Konstanten und $\vec{v}_{\text{wind}}$ der Windgeschwindgkeit, die von Ort und Zeit abhängig sein kann. Für niedrige <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Reynolds-Zahl">Reynolds-Zahl</a>, dominiert der lineare Term $-a(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}})$ meistens, für eine hohe Reynolds-Zahl hingegen, dominiert der quadratische Term $- b(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}})|(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}})|$. </p>

<form name="ball">
<p>$m=$ <input type="text" size="10" value="0.1" name="mball"> kg $a=$ <input type="text" size="10" value="0.01" name="aball"> N s/m $b=$ <input type="text" size="10" value="0.03" name="bball"> N s²/m²</p>
<p>Die drei Komponenten des Windvektors können Funktionen des Ortes und der Zeit sein.<br />
$v_{\text{wind},x}=$ <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="10" value="1" name="vwx"> m/s $v_{\text{wind},y}=$ <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="10" value="7*exp(-x*x)" name="vwy"> m/s $v_{\text{wind},z}=$ <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="10" value="-3*exp(-t*t)" name="vwz"> m/s</p>
<p>Die Anfangsbedingungen zur Zeit $t=0$ sind, <br />
$x=$ <input type="text" size="10" value="0" name="xball"> m  $y=$ <input type="text" size="10" value="0" name="yball"> m  $z=$ <input type="text" size="10" value="0" name="zball"> m 
$v_x=$ <input type="text" size="10" value="-7" name="vxball"> m/s  $v_y=$ <input type="text" size="10" value="5" name="vyball"> m/s  $v_z=$ <input type="text" size="10" value="10" name="vzball"> m/s<br />
</p>
<p style="text-align:center">
<input type="button" value="Laden der Gleichung in das untere Formular" onclick="wind();">
</p>
</form>

<h3 style="text-align:center">Raketenstart</h3>

<p>Eine Modellrakete der Masse $m$ wird gestartet, mit einem Motor, welcher für 3 Sekunden eine aufwärts gerichtete Kraft $F_{\text{thrust}}$ erzeugt. Diese Kraft kann mathematisch beschrieben werden als $\vec{F}=F_{\text{thrust}}H(3-t)\hat{z}$ mit $H(x)$ der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Heaviside-Funktion">Heaviside Stufen Funktion</a>. Da die Rakete Treibstoff verbraucht, nimmt ihre Masse ab. In dem Beispiel unten, verliert die Rakete die Hälfte ihrer Masse in den drei Sekunden ihrer Beschleunigung und behält dann eine konstante Masse, $m=0.1(2-H(3-t)t/3-H(t-3))$.  Weitere Kräfte auf die Rakete wirken sind die Gravitation $-mg\hat{z}$ und eine Reibungskraft, die beschrieben werden kann durch,</p>

<p style="text-align:center">$\large \vec{F}_{fric} = -a(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}}) - b(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}})|(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}})|,$</p>

<p>mit $a$ und $b$ Konstanten und $\vec{v}_{\text{wind}}$ der Geschwindigkeit, die von Ort und Zeit abhängen kann. </p>

<p style="text-align:center">$\vec{F}=0.1(2-H(3-t)t/3-H(t-3))\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = F_{\text{thrust}}H(3-t)\hat{z}-a(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}}) - b(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}})|(\vec{v}-\vec{v}_{\text{wind}})|-mg\,\hat{z}$</p>

<form name="ball">
<p>$m=$ <input type="text" size="10" value="0.1*(2-H(3-t)*t/3-H(t-3))" name="mball"> kg $F_{\text{thrust}}=$ <input type="text" size="10" value="5" name="thrust"> N $a=$ <input type="text" size="10" value="0.01" name="aball"> N s/m $b=$ <input type="text" size="10" value="0.03" name="bball"> N s²/m²</p>
<p>Die drei Komponenten des Windvektors können von Ort und Zeit abhängen .<br />
$v_{\text{wind},x}=$ <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="20" value="0.2*exp(-t*t/50)" name="vwx"> m/s $v_{\text{wind},y}=$ <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="20" value="-0.3*exp(-t*t/50)" name="vwy"> m/s $v_{\text{wind},z}=$ <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="20" value="0" name="vwz"> m/s</p>
<p>Die Anfangsbedingungen zur Zeit $t=0$ sind, <br />
$x=$ <input type="text" size="10" value="0" name="xball"> m  $y=$ <input type="text" size="10" value="0" name="yball"> m  $z=$ <input type="text" size="10" value="0" name="zball"> m 
$v_x=$ <input type="text" size="10" value="0" name="vxball"> m/s  $v_y=$ <input type="text" size="10" value="0" name="vyball"> m/s  $v_z=$ <input type="text" size="10" value="0" name="vzball"> m/s<br />
</p>
<p style="text-align:center">
<input type="button" value="Laden der Gleichungung in das untere Formular" onclick="rocket();">
</p>
</form>

<h3 style="text-align:center">Ein springender Ball</h3>

<p>Ein Ball der Masse $m$ wird geworfen und springt auf den Boden. Die auf diesen Ball wirkenden Kräfte sind die Schwerkraft $-mg\hat{z}$, eine der Geschwindigkeit proportionale Widerstandskraft $-a\vec{v}$ und die Kraft, die der Boden beim Aufprall ausübt. Der Boden kann als elastisches Material beschrieben werden, das mit einer Kraft $-kzH(-z)\hat{z}$ nach oben drückt. Hier ist $k$ die elastische Konstante und die Heaviside-Funktion $H(-z)$ sorgt dafür, dass diese Kraft nur dann wirkt, wenn die Ball $z=0$ unterschreitet. </p>

<p>Je größer die elastische Konstante $k$ ist, desto weniger sinkt der Ball unter $z=0$ und die Simulation prallt von einem harten Boden ab. Bei der Wahl des Zeitschritts $\Delta t$ ist jedoch Vorsicht geboten. Es sollte viel kleiner als $2\pi\sqrt{m/k}$ sein, damit der Solver die Abpraller vom Boden richtig beschreiben kann. Einige Differentialgleichungslöser passen den Zeitschritt automatisch an, um Probleme wie dieses zu berücksichtigen. </p>

<p>Die Anfangsbedingungen zur Zeit $t=0$ sind, <br />
$x=$ <input type="text" size="10" value="0" name="xball"> m  $y=$ <input type="text" size="10" value="0" name="yball"> m  $z=$ <input type="text" size="10" value="0" name="zball"> m 
$v_x=$ <input type="text" size="10" value="-7" name="vxball"> m/s  $v_y=$ <input type="text" size="10" value="5" name="vyball"> m/s  $v_z=$ <input type="text" size="10" value="10" name="vzball"> m/s<br />
</p>

<h3 style="text-align:center">Curveball: Magnus effect</h3>

<table align="right"><tr><td> </td><td><img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/Magnus-anim-canette.gif/330px-Magnus-anim-canette.gif"><br /><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Magnus-anim-canette.gif">Wikimedia Commons</a><br /><br />
</td></tr></table>

<p>Ein sich drehender Ball, der durch die Luft geworfen wird, folgt aufgrund des <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Magnus_effect">Magnus-Effekts</a> einer gekrümmten Bahn. Die Magnuskraft auf eine glatte Kugel ist,</p>

<p style="text-align:center">$\vec{F}_{\text{Magnus}} = \frac{4}{3} \pi\rho r^3(\vec{\omega}\times\vec{v}),$</p>

<p>wobei $r$ der Radius der Ball, $\rho$ die Dichte der Luft, $\vec{\omega}$ die Kreisfrequenz der Drehung und $\vec{v}$ die Geschwindigkeit von ist der Ball. Die Luftwiderstandskraft wird angenähert als</p>

<p>wobei $C_d$ die <a href="https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/drag-of-a-sphere/">Luftwiderstandsbeiwert</a> ist. </p>

<p style="text-align:center">$\vec{F}= m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\frac{\pi}{2} r^2 \rho C_d|\vec{v}|\vec{v}+ \frac{4}{3} \pi\rho r^3(\vec{\omega}\times\vec{v})-mg\,\hat{z}$</p>

<p>Die drei Komponenten des Vektors, der die Drehung beschreibt:<br />
$\vec{\omega}=$ <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="20" value="0" name="wx"> $\hat{x}$  + <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="20" value="0" name="wy"> $\hat{y}$  + <input style="border: solid 1px blue" type="text" size="20" value="10*exp(-0.001*t)" name="wz"> $\hat{z}$ rad/s</p>

<p>Im Allgemeinen ist der Luftwiderstandsbeiwert eine Funktion der Geschwindigkeit und kann in Form von vx, vy und vz ausgedrückt werden. Die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit aufgrund von Reibung ab. Sie kann als Funktion der Zeit ausgedrückt werden.</p>

<p>Die Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt $t=0$ sind,<br />
$x=$ <input type="text" size="10" value="0" name="xball"> m  $y=$ <input type="text" size="10" value="0" name="yball"> m  $z=$ <input type="text" size="10" value="0" name="zball"> m 
$v_x=$ <input type="text" size="10" value="30" name="vxball"> m/s  $v_y=$ <input type="text" size="10" value="0" name="vyball"> m/s  $v_z=$ <input type="text" size="10" value="10" name="vzball"> m/s<br />
</p>
<p style="text-align:center">
<input type="button" value="Laden Sie diese Gleichungen in das unten stehende Formular" onclick="magnus();">
</p>
</form>

<h3 style="text-align:center">Elektrische Ablenkung von Elektronen</h3>

<p>Elektronen werden durch eine Spannung $V_x$ in Richtung einer positiv geladenen Platte beschleunigt. Einige der Elektronen passieren ein kleines Loch in der Platte und bilden einen Elektronenstrahl, der sich in einen Bereich bewegt, in dem ein elektrisches Feld aufgebaut wird, indem eine Spannung $V_y$ zwischen zwei Metallplatten angelegt wird, die einen Abstand $d$ voneinander haben.</p >

<p>Die Elektronen werden aus dem Ruhezustand mit einer Spannung von $V_x=5000$ V auf die positiv geladene Platte in einem Abstand von 5 cm beschleunigt. Die Elektronen werden abgelenkt, wenn sie das elektrische Feld zwischen den Platten passieren, wobei $V_y = 60$ V. Die Kraft beträgt in diesem Fall:</p>

<p>Eine Darstellung der elektrischen Ablenkung finden Sie unter <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/electricity/electric_deflection_F.de.php">Elektrische Ablenkung eines Elektronenstrahls</a>.</p>

<h3 style="text-align:center">Ein geladenes Teilchen in einem konstanten Magnetfeld</h3>

<p>Die Kraft auf ein Teilchen mit der Ladung $q$ in einem Magnetfeld $\vec{B}$ beträgt:</p>

<p style="text-align:center">$\vec{F} =q\vec{v}\times\vec{B}.$</p>

<p>Wenn die Geschwindigkeit $\vec{v}$ parallel zum Magnetfeld ist, ist die Kraft Null und das Teilchen bewegt sich geradlinig weiter. Liegt die Anfangsgeschwindigkeit nur in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld, bewegt sich das Teilchen auf einem Kreis. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit eine Komponente in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld und eine Komponente parallel zum Feld aufweist, folgt das Teilchen einer Helix und dreht sich spiralförmig um die Richtung des Magnetfelds.</p>

<h3 style="text-align:center">Magnetische Ablenkung eines Elektronenstrahls</h3>

<p>Ein Magnetfeld, das senkrecht zur Geschwindigkeit der Elektronen in einem Elektronenstrahl angelegt wird, beugt die Elektronen in eine Richtung, die sowohl zur Geschwindigkeit als auch zum Magnetfeld senkrecht ist. Im Diagramm unten werden Elektronen durch eine Spannung $V_x= 5000$ V in Richtung einer positiv geladenen Platte beschleunigt. Einige der Elektronen passieren ein kleines Loch in der Platte und bilden einen Elektronenstrahl, der sich zu einem kreisförmigen Bereich bewegt, in dem ein Magnetfeld $\vec{B} = 0,0025\,\hat{z}$ T von einem Elektromagneten erzeugt wird. Durch die Lorentzkraft werden die Elektronen abgelenkt und sie folgen einer Kreisbahn im Magnetfeld. Der Strahl wandert dann weiter und trifft auf einen Bildschirm, der 15 cm rechts von der Mitte des Magneten liegt.</p>

<p>Eine Simulation der magnetischen Ablenkung finden Sie unter <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/magnetism/magnetic_deflection_F.de.php">Magnetische Ablenkung eines Elektronenstrahls</a>.</p>

<h3 style="text-align:center">J. J. Thomsons Experiment zur Bestimmung des Ladungs-zu-Masse-Verhältnisses von Elektronen</h3>

<p><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph_John_Thomson">J. J. Thomson</a> führte Experimente durch, um zu zeigen, dass Atome aus subatomaren Teilchen mit positiven und negativen Ladungen bestehen. Er stellte fest, dass die negativ geladenen Teilchen (Elektronen) viel leichter waren als die positiv geladenen Teilchen. Das Ladungs-zu-Masse-Verhältnis der Elektronen wurde gemessen, indem die Elektronen durch eine Spannung $V_x$ in Richtung einer positiv geladenen Platte beschleunigt wurden. Einige der Elektronen passieren ein kleines Loch in der Platte und bilden einen Elektronenstrahl, der in einen Bereich wandert, in dem ein elektrisches Feld und ein magnetisches Feld vorhanden waren. Die Elektronen wurden in $x$-Richtung beschleunigt, das elektrische Feld war in $y$-Richtung und das magnetische Feld war in $z$-Richtung.</p>

<p>Die Kraft auf ein Elektron aufgrund des elektrischen Feldes beträgt $\vec{F}_{\text{elec}}=-|e|E_y\hat{y}$ und die Kraft auf ein Elektron aufgrund des magnetischen Feldes Feld ist $\vec{F}_{\text{magn}}=|e|v_xB\hat{y}$. Die Geschwindigkeit der Elektronen kann bestimmt werden, da bei der Beschleunigung der Elektronen in $x$-Richtung die potentielle Energie $|e|V_x$ in kinetische Energie umgewandelt wird  $\frac{1}{2}mv_x^2= |e|V_x$. Daher $v_x=\sqrt{2|e|V_x/m}$. Wenn das Experiment so eingestellt wird, dass sich die elektrischen und magnetischen Kräfte gegenseitig aufheben $|e|v_xB\hat{y}-|e|E_y\hat{y}=0$, dann ist das Ladungs-zu-Masse-Verhältnis gegeben von, </p>

<p style="text-align:center">$\large \frac{e}{m}=\frac{V_y^2}{2V_x\mu_0^2n^2I^2d^2}.$</p>

<p>Die folgende Berechnung gilt für $V_x = 5000$ V, $V_y = 60$ V, $\vec{B}= 0,00025\,\hat{z}$ T. Anfangs haben die Elektronen eine Geschwindigkeit von Null. Die Metallplatten sind 10 cm lang und haben einen Abstand von $d=$ 2 cm. Weitere Details finden Sie unter <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/magnetism/thomson_F.de.php">J. J. Thomsons Experiment zur Bestimmung des Ladungs-zu-Masse-Verhältnisses von Elektronen</a>.</p>

<h3 style="text-align:center">Ein Elektron bewegt sich im Magnetfeld, das durch einen stromdurchflossenen Draht erzeugt wird.</h3>

<p>Ein Magnetfeld wird durch einen Strom erzeugt, der durch einen langen geraden Draht in der +$z$-Richtung fließt</p>

<p style="text-align:center">$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{2\pi(x^2+y^2)}\,\hat{z}\times (x\hat{x} + y\hat{y})\,\,\text{[T]}$</p>

<p>wobei $I$ der Strom ist. Für Details siehe: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/magnetism/line.de.php">Das Magnetfeld um einen unendlich langen geraden Draht</a>. </p>

<p>Die Kraft auf ein Teilchen mit der Ladung $q$ in diesem Magnetfeld beträgt:</p>

<p style="text-align:center">$\vec{F} =q\vec{v}\times\vec{B}.$</p>

<p>Die Werte für an werden zunächst in das Formular geladen. Das Elektron bewegt sich auf einer komplizierten Bahn um den Draht. Beachten Sie, dass die geleistete Arbeit (letzte Spalte in der Tabelle unten) Null bleibt (innerhalb des numerischen Fehlers), da die Kraft immer senkrecht zur Geschwindigkeit ist. </p>

<h3 style="text-align:center">Ein geladenes Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern</h3>

<p>Wenn sich ein geladenes Teilchen mit einer Ladung $q$ und einer Masse $m$ in einem elektrischen Feld $\vec{E}$ und einem magnetischen Feld $\vec{B}$ bewegt, beträgt die Kraft auf das Teilchen: </p>

<p style="text-align:center">$ \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times \vec{B}).$</p>

<p>Ausgeschrieben in ihren drei Komponenten ist die Lorentzkraft:</p>

<p>Die Komponenten der elektrischen und magnetischen Felder können in den Textfeldern unten angegeben werden. Diese können dann in den allgemeinen 3D-Bewegungsdifferentialgleichungslöser geladen werden, um die Flugbahn des geladenen Teilchens zu berechnen.</p>

<p>Wenn ein konstantes, gleichmäßiges elektrisches Feld senkrecht zu einem konstanten, gleichmäßigen Magnetfeld verläuft, verläuft die durchschnittliche Geschwindigkeit des geladenen Teilchens in der Richtung senkrecht sowohl zum elektrischen Feld als auch zum magnetischen Feld. Beachten Sie, dass sich Elektronen sehr schnell bewegen, daher muss ein kurzer Zeitschritt $\Delta t$ gewählt werden.</p>

<h3 style="text-align:center">Masse-nichtlineare Feder System</h3>

<p>Ein numerischer Differentialgleichungsrechner kann auch verwendet werden, wenn die Feder nonlinear ist. 
Für eine lineare Feder ist die Kraft proportional zur Auslenkung der Feder, $F=-kx$. 
Bei einer harten Feder, wächst die Kraft schneller als linear, wenn die Feder ausgelenkt wird. 
Ein Beispiel für eine harte Feder ist $F=-kx|x|$. 
Bei einer weichen Feder, wächst die Kraft langsamer als linear, wenn die Feder ausgelenkt wird. 
Ein Beispiel für eine weiche Feder ist $F=-k\sin(x)$. 
In der darunterliegenden Simulation wird die Feder von der Gleichgewichtsposition ausgelenkt, und die Masse $m$ aus dem Ruhezustand losgelassen. 
Wenn Reibung vernachlässigt wird, dann oszilliert die Masse um die Gleichgewichtsposition der Feder. 
Für nichtlineare Federn, ist die Frequenz der Oszillation von der Amplitude Abhängig.
Bei harten Federn erhöht sich die Frequenz mit der Amplitude, und bei weiche Federn verringert sich die Frequenz mit der Amplitude. </p>

<p style="text-align:center"><input type="radio" id="hard" name="spring" value="hard" onclick="nspring();" checked>
<label for="hard">harte Feder $F=-kx|x|$</label>  <input type="radio" id="lin" name="spring" value="lin" onclick="nspring();">
<label for="lin">lineare Feder $F=-kx$</label>  <input type="radio" id="soft" name="spring" value="soft" onclick="nspring();">
<label for="soft">weiche Feder $F=-k\sin(x)$</label></p>

<h3 style="text-align:center">Resonanz: Gedämpftes angetriebenes Masse-Feder-System</h3>

<p>Eine Masse $m$ ist an einer linearen Feder mit der Federkonstante $k$ befestigt. Auf die Masse wirkt eine Reibungskraft in entgegengesetze Richtung der Geschwindigkeit $F_{\text{drag}}=-bv_x$ (sei $b$ der Reibungskoeffizient). Das System wird durch eine periodische Antriebskraft $F_0\cos(\Omega t)$ angetrieben. Die folgende Differentialgleichung beschreibt die Bewegung:</p>

<p style="text-align:center">$\large m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=F_0\cos(\Omega t).$</p>

<tr><td><p style="text-align:right; margin-right:0cm;">$\Omega=$ <span id="omgtext">1</span> [rad/s]</td><td><input type="button" value="-" onclick="ball.slide_omg.value=ball.slide_omg.value-0.1; resonance();"><input type='range' min='0' max='10' step='0.1' name='slide_omg' value='1' onchange='resonance();' oninput='resonance();'/><input type="button" value="+" onclick="ball.slide_omg.value=eval(ball.slide_omg.value) + 0.1; resonance();"></td></tr>

</table>

</form>

<p><span id="termv">Die Resonanzfrequenz ist $\omega=\sqrt{k/m-b^2/4m^2}=$ 0.943 rad/s. Die maximale Auswirkung folgt aus der Gleichheit der Treiber- und Resonanzfrequenz. Die Amplitude der daraus resultierenden Schwingungen (im Gleichgewichtszustand) ist $F_0/\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}=$ 0.447 m.</span></p>

<p>Weitere Details finden Sie unter: <a href="http://lampz.tugraz.at/~hadley/physikm/script/oscillations/resonance.de.php">Resonanz eines gedämpften harmonischen Oszillators</a> .</p>

<h3 style="text-align:center">Swinging spring</h3>

<p>Die schwingende Feder oder das <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_pendulum">elastische Pendel</a> ist eine Masse, die an einem Ende mit einem elastischen Stab verbunden ist, der sich dehnen, aber nicht biegen kann. Das andere Ende des Stabes ist an einem festen Punkt befestigt, so dass die Masse frei schwingen kann. Dieses System kann eine komplexe Bewegung ausführen, und für einige Anfangsbedingungen führt es eine chaotische Bewegung aus. Die Gleichungen lauten:</p>

<p style="text-align:center">$\large m\frac{d^2x}{dt^2}=-m\omega^2\left(\frac{|\vec{r}| -l}{|\vec{r}|}\right)x$</p>
<p style="text-align:center">$\large m\frac{d^2y}{dt^2}=-m\omega^2\left(\frac{|\vec{r}| -l}{|\vec{r}|}\right)y$</p>
<p style="text-align:center">$\large m\frac{d^2z}{dt^2}=-m\omega^2\left(\frac{|\vec{r}| -l}{|\vec{r}|}\right)z-mg$</p>

<p>wobei $m$ die Masse des Stabes,  $l$ die ungestreckte Länge des Stabes,  $g = 9.807$ die Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche, $\omega^2=k/m$, und $|\vec{r}| =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ist. </p>






	Physik für Geodäsie 511.018 / Physik M 513.805

Numerische Lösungen von Differentialgleichungen in drei Dimensionen

Numerische Lösung von Differentialgleichungen 6ter Ordnung