Resonanz des gedämpften getriebenen Oszillators

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$m=$1 [kg]

$b=$1 [N s/m]

$k=$1 [N/m]

$F_0=$1 [N]

$\Omega=$1 [rad/s]

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}$

= 1 [rad/s] = 1 [Hz]

$\theta=\text{atan}\left(\frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}\right)$

= 0 [rad] = 0 [deg]

$|A|=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}}$

= 1 [m]

$Q=\frac{\sqrt{mk}}{b}$

= 1

Display $F_0e^{i\Omega t}$: 

 Display $|A|e^{i(\Omega t-\theta)}$: 

Display transients $z$: 

 Display $y$: 

Die Simulation zeigt die Bewegung eines gedämpften, harmonischen Oszillators, mit antreibender Kraft. Das blaue, quadratische Gewicht hat eine Masse $m$ und ist mit einer Feder mit der Federkonstante $k$ verbunden. Es gibt eine Dämpfung $-bv$, mit $v$ der Geschwindigkeit des Gewichtes. Das Gewicht wird von einer Kraft der Form $F_0\cos (\Omega t)$ angetrieben. Diese wird durch den roten Pfeil dargestellt. $F_0$ ist die Amplitude der antreibenden Kraft und $\Omega$ ihre Frequenz. Die Bewegung des Gewichts setzt sich aus einem Einschwingvorgang sowie einem eingeschwungenen Zustand zusammen. Die Lösung für den eingeschwungenen Zustand lautet $A\cos(\Omega t -\theta)$. Die Schwingungen des eingeschwungenen Zustands hängen der antreibenden Kraft um eine Phase $\theta$ nach. Der Phasenwinkel $\theta$, sowie die Amplitude $A$ können neben der Simulation abgelesen werden. Die Amplitude der Bewegung des Gewichtes wird maximiert, wenn die Frequenz der antreibenden Kraft, $\Omega$ gleich der Eigenfrequenz $\omega$ ist. Dieser Zustand wird als Resonanz bezeichnet. Ein solcher gedämpfter, angetriebener Oszillator wird oft mit Hilfe komplexer Zahlen analysiert. Die antreibende Kraft kann als Realteil der Kreisbewegung in der komplexen Ebene angesehen werden. Wählen Sie "$F_0e^{i\Omega t}$ anzeigen" um die komplexe Darstellung als gefüllten roten Kreis in der Simulation darzustellen. Die komplexe eingeschwungene Antwort auf die antreibende Kraft kann dargestellt werden, wenn "$Ae^{i(\Omega t-\theta)}$ anzeigen" ausgewählt wird. Die Bewegung der eingeschwungenen Antwort erscheint als blauer Kreis. Der Winkel zwischen roter und blauer Linie ist $\theta$. Wählen Sie "$z$ anzeigen" um die komplexe Lösung, welche den Einschwingvorgang und die eingeschwungene Lösung beinhaltet, anzuzeigen. Diese erscheint als gefüllter blauer Kreis. Wenn der gefüllte blaue Kreis im offenen blauen Kreis zentriert ist, sind die Einschwingvorgänge abgeklungen. Die komplexe Lösung $z = x +iy$ besteht aus einem Real- und einem Imaginärteil. Der Imaginärteil ist die Lösung für eine antreibende Kraft $F_0\sin (\Omega t)$. Wenn Sie "$y$ anzeigen" auswählen erscheint diese Lösung als hellblaues Quadrat. Jedes Mal, wenn ein Schieberegler bewegt wird, werden zufällige Anfangsbedingungen ausgewählt, sodass die Einschwingvorgänge unterschiedlich sind.

Die Einschwingvorgänge setzen sich aus Lösungen für eine nichtvorhandende Antriebskraft zusammen. Stellen Sie $F_0$ auf Null um die Einschwingantwort darzustellen. Die Differentialgleichung, die die Bewegung eines ungedämpften angetriebenen harmonischen Oszillator beschreibt lautet

\[\begin{equation} \label{eq:e1} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = 0, \end{equation}\]

Um dieses Problem zu lösen, ist es gängig die komplexe Differentialgleichung

\[\begin{equation} \label{eq:e2} m\frac{d^2z}{dt^2}+b\frac{dz}{dt} + kz = 0, \end{equation}\]

zu betrachten, wobei $z$ eine komplexe Zahl $z(t)=x(t)+iy(t)$ ist. Hier sind $x(t)$ und $y(t)$ reelle Funktionen und $\sqrt{-1}=\pm i$. Setzt man $z$ in Glchg. \eqref{eq:e2} ein, erhält man

\[\begin{equation} \label{eq:e3} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx +im\frac{d^2y}{dt^2}+ib\frac{dy}{dt} + iky= 0. \end{equation}\]

Da eine reelle Zahl nicht gleich einer komplexen Zahl sein kann, sind, wenn $z$ als Lösung zu Glchg. \eqref{eq:e2} gefunden wurde, sowohl der Realteil, $x$, als auch der Imaginärteil $y$, Lösungen zu Glchg. \eqref{eq:e1}.

Wir suchen nach einer Lösung zu Glchg. \eqref{eq:e2}, welche die Form $z=e^{\lambda t}$ hat. Setzen wir das in Glchg. \eqref{eq:e2} ein, erhalten wir

\[\begin{equation} m\lambda^2+b\lambda + k = 0. \end{equation}\]

Die Lösungen für $\lambda$ sind

\[\begin{equation} \lambda_{\pm} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4km}}{2m}. \end{equation}\]

Gilt $b^2-4km > 0$ sind beide Lösungen für $\lambda$ reell und die zwei Lösungen zu Glchg. \eqref{eq:e1} sind

\[\begin{equation} x_1(t) = C_1 \exp \left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4km}}{2m}t\right)\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm} x_2(t) = C_2 \exp \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4km}}{2m}t\right). \end{equation}\]

Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Diese Lösung heißt Kriechfall. Wenn ein solches gedämpftes Masse-Feder-System mit diesen Parametern aus seiner Ruhelage gebracht, und ausgelassen wird, wird die Rückkehr in die Gleichgewichtslage als exponentielle Abnahme beschrieben und es gibt keine Oszillationen. Der Kriechfall tritt auf, wenn der Qualitätsfaktor $Q =\frac{\sqrt{mk}}{b} < \frac{1}{2}$.

Ist $b^2-4km=0$ gibt es nur eine Lösung für $\lambda=-\frac{b}{2m}$ und die zwei Lösungen zu Glchg. \eqref{eq:e1} sind

\[\begin{equation} x_1(t) = C_1 \exp \left(\frac{-b}{2m}t\right)\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm} x_2(t) = C_2t \exp \left(\frac{-b}{2m}t\right). \end{equation}\]

Die Konstanten $C_1$ und $C_2$ werden über die Anfangsbedingungen bestimmt. Diese Lösungen heißen aperiodischer Grenzfall. Wird ein Masse-Feder-System mit diesen Parameteren aus seiner Ruhelage ausgelenkt und losgelassen, kehrt es so schnell wie möglich in seine Ruhelage zurück. Dies geschieht möglicherweise auch ohne Schwingungen. Aperiodische Grenzfälle treten für Qualitätsfaktoren $Q = \frac{\sqrt{mk}}{b} = \frac{1}{2}$. auf.

Wenn gilt $b^2-4km < 0$ sind die beiden Lösungen für $\lambda$ komplex und die zwei Lösungen $z$ für Glchg. \eqref{eq:e2} haben die Form

\[\begin{equation} z_1(t) \propto \exp \left(\frac{-b}{2m}t+i\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}t\right)\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm} z_2(t) \propto \exp \left(\frac{-b}{2m}t-i\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}t\right). \end{equation}\]

Die reellen Lösungen Glchg. \eqref{eq:e1} sind der Real- und Imaginärteil $z_1$ und $z_2$

\[\begin{equation} x_1(t) = C_1 \exp \left(\frac{-b}{2m}t\right)\cos (\omega t)\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm} x_2(t) = C_2 \exp \left(\frac{-b}{2m}t\right)\sin (\omega t). \end{equation}\]

Wiederum werden die Konstanten $C_1$ und $C_2$ aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Diese Lösung heißt Schwingfall, mit $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}$. Solche Lösungen treten für Qualitätsfaktoren $Q = \frac{\sqrt{mk}}{b} > \frac{1}{2}$ auf.

Bei Hinzufügen einer antreibenden Kraft, wird die Differential zu

\[\begin{equation} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t). \end{equation}\]

Die harmonische Bewegung der antreibenden Kraft, kann als der Realteil einer Kreisbewegung in der komplexen Ebene gedacht werden. Die komplexe Differentialgleichung, die benötigt wird um das gedämpfte Masse-Feder-System, mit antreibender Kraft zu berechnen gebraucht wird, lautet

\[\begin{equation} \label{eq:e10} m\frac{d^2z}{dt^2}+b\frac{dz}{dt} + kz = F_0e^{i\Omega t}. \end{equation}\]

Diese Gleichung ist äquivalent zu den Gleichungen für die Real- und Imaginärteile

\[\begin{equation} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\Omega t)\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm}m\frac{d^2y}{dt^2}+b\frac{dy}{dt} + ky = F_0\sin(\Omega t). \end{equation}\]

Die antreibende Kraft $F_0 e^{i\Omega t}$ beschreibt einen Punkt, welcher in der komplexen Ebene eine Kreisbewegung mit dem Radius $F_0$ und der konstanten Winkelgeschwindigkeit $\Omega$ durchführt (der gefüllte rote Punkt in der Simulation). Der Realteil dieser Bewegung ist die originale antreibende Kraft, $F_0\cos (\Omega t)$. Zusätzlich zu den zwei Lösungen, haben wir für den Schwingfall eine Lösung der Form $z = Ae^{i\Omega t}$ gefunden, welche mit der Frequenz der Antriebskraft schwingt. Setzen wir diese Lösung in Glchg. \eqref{eq:e10} ein, erhalten wir das folgende Resultat

\[\begin{equation} \left( -m\Omega^2+i\Omega b+k\right)A = F_0. \end{equation}\]

Die Ausdrücke in den Klammern können in Polardarstellung geschrieben werden

\[\begin{equation} \left( -m\Omega^2+i\Omega b+k\right) = \rho e^{i\theta}, \end{equation}\]

wobei

\[\begin{equation} \rho = \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+\Omega^2b^2}\hspace{1cm}\text{und}\hspace{1cm} \tan\theta = \frac{\Omega b}{k-m\Omega^2}. \end{equation}\]

Lösen nach $A$ liefert

\[\begin{equation} A=\frac{F_0}{\rho}e^{-i\theta}. \end{equation}\]

Die Lösung der komplexen Differentialgleichung ist $z=\frac{F_0}{\rho}e^{i(\Omega t -\theta)}$. Diese Lösung entspricht einer Kreisbewegung in der komplexen Ebene (der blaue Kreis in der Simulation). Die eingeschwungene Bewegung, die beobachtet wird, entspricht dem Realteil der kompelxen Lösung $x_1=\frac{F_0}{\rho}\cos (\Omega t -\theta)$. Die Antwort hängt der antreibenden Kraft einer Phase $\theta$ nach.

Die Form der Gesamtlösung einschließlich der transienten Terme hängt vom Wert von $b^2-4km$ ab:

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